10.(2024·大兴安岭)关于 $ x $ 的不等式组 $ \{ \begin{array} { l } { 4 - 2 x ≥ 0, } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - a ＞ 0 } \end{array} $ 恰有 3 个整数解，则 $ a $ 的取值范围是 ______ .
答案：10. −$\frac{1}{2}$≤a＜0
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}4 - 2x ≥ 0 \\frac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$4 - 2x ≥ 0 \implies -2x ≥ -4 \implies x ≤ 2$
解第二个不等式：
$\frac{1}{2}x - a ＞ 0 \implies \frac{1}{2}x ＞ a \implies x ＞ 2a$
不等式组的解集为 $2a ＜ x ≤ 2$。
因为不等式组恰有3个整数解，整数解为0，1，2，所以：
$-1 ≤ 2a ＜ 0 \implies -\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$
$-\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$
$\begin{cases}4 - 2x ≥ 0 \\frac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$4 - 2x ≥ 0 \implies -2x ≥ -4 \implies x ≤ 2$
解第二个不等式：
$\frac{1}{2}x - a ＞ 0 \implies \frac{1}{2}x ＞ a \implies x ＞ 2a$
不等式组的解集为 $2a ＜ x ≤ 2$。
因为不等式组恰有3个整数解，整数解为0，1，2，所以：
$-1 ≤ 2a ＜ 0 \implies -\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$
$-\frac{1}{2} ≤ a ＜ 0$
11.(12 分)解不等式：$ \frac { 2 x + 1 } { 3 } ＞ 1 - \frac { x + 6 } { 2 } $，并把它的解集在数轴上表示出来.
答案：
11. 解：不等式两边同乘 6，得 2(2x + 1) ＞ 6 - 3(x + 6)，去括号，得 4x + 2 ＞ 6 - 3x - 18，移项，得 4x + 3x ＞ 6 - 18 - 2，合并同类项，得 7x ＞ -14，两边都除以 7，得 x ＞ -2，解集在数轴上表示如答图。
11. 解：不等式两边同乘 6，得 2(2x + 1) ＞ 6 - 3(x + 6)，去括号，得 4x + 2 ＞ 6 - 3x - 18，移项，得 4x + 3x ＞ 6 - 18 - 2，合并同类项，得 7x ＞ -14，两边都除以 7，得 x ＞ -2，解集在数轴上表示如答图。
12.（12 分）（2025·宿豫区期末）解不等式（组）：
（1）$ \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { x - 1 } { 3 } ≤ 1 $；
（2）$ \{ \begin{array} { l } { 9 x + 5 ＜ 8 x + 7, } \\ { \frac { 4 } { 3 } x + 2 ＞ 1 - \frac { 2 } { 3 } x, } \end{array} $ 并写出其整数解.
（1）$ \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { x - 1 } { 3 } ≤ 1 $；
（2）$ \{ \begin{array} { l } { 9 x + 5 ＜ 8 x + 7, } \\ { \frac { 4 } { 3 } x + 2 ＞ 1 - \frac { 2 } { 3 } x, } \end{array} $ 并写出其整数解.
答案：12. 解：(1) 不等式两边同乘 6，得 3(x + 1) + 2(x - 1) ≤ 6，去括号，得 3x + 3 + 2x - 2 ≤ 6，移项，合并同类项，得 5x ≤ 5，两边都除以 5，得 x ≤ 1。
(2) {$\frac{4}{3}$x + 2 ＞ 1 - $\frac{2}{3}$x,②解不等式①,得 x ＜ 2。解不等式②,得 x ＞ -$\frac{1}{2}$。所以原不等式组的解集为 -$\frac{1}{2}$ ＜ x ＜ 2，其整数解为 0，1。
(2) {$\frac{4}{3}$x + 2 ＞ 1 - $\frac{2}{3}$x,②解不等式①,得 x ＜ 2。解不等式②,得 x ＞ -$\frac{1}{2}$。所以原不等式组的解集为 -$\frac{1}{2}$ ＜ x ＜ 2，其整数解为 0，1。
13.（16 分）（2024·梁溪区一模）为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打 85 折；
促销方式二：按所购商品原价每满 300 元减 60 元.（如所购商品原价为 340 元，则减 60 元，需付款 280 元；所购商品原价为 630 元，则减 120 元，需付款 510 元）
（1）若某商品原价为 500 元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由；
（2）当商品原价为多少元时，两种促销方式一样优惠；
（3）若某商品原价为 $ m $ 元（$ 0 ＜ m ＜ 900 $），请问当 $ m $ 满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由.
促销方式一：按所购商品原价打 85 折；
促销方式二：按所购商品原价每满 300 元减 60 元.（如所购商品原价为 340 元，则减 60 元，需付款 280 元；所购商品原价为 630 元，则减 120 元，需付款 510 元）
（1）若某商品原价为 500 元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由；
（2）当商品原价为多少元时，两种促销方式一样优惠；
（3）若某商品原价为 $ m $ 元（$ 0 ＜ m ＜ 900 $），请问当 $ m $ 满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由.
答案：13. 解：(1) 选择促销方式一更优惠，理由如下：选择促销方式一需付款 500 × 85% = 425（元）。选择促销方式二需付款 500 - 60 = 440（元）。因为 425 ＜ 440，所以选择促销方式一更优惠。
(2) 设商品原价为 x 元，当 300 ≤ x ＜ 600 时，85%x = x - 60，解得 x = 400。当 600 ≤ x ＜ 900 时，85%x = x - 120，解得 x = 800。当 900 ≤ x ＜ 1200 时，85%x = x - 180，解得 x = 1200（不符合题意，舍去），所以当 x ≥ 900 时，不存在符合题意的情况。答：当商品原价为 400 元或 800 元时，两种促销方式一样优惠。
(3) 当 0 ＜ m ＜ 300 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 m 元，所以此时促销方式一比促销方式二更优惠；当 300 ≤ m ＜ 600 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 (m - 60) 元，根据题意，得 85%m ＞ m - 60，解得 m ＜ 400；所以当 300 ≤ m ＜ 400 时，促销方式二比促销方式一更优惠。当 600 ≤ m ＜ 900 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 (m - 120) 元，根据题意，得 85%m ＞ m - 120，解得 m ＜ 800。所以当 600 ≤ x ＜ 800 时，促销方式二比促销方式一更优惠。综上，当 300 ≤ m ＜ 400 或 600 ≤ x ＜ 800 时，促销方式二比促销方式一更优惠。
(2) 设商品原价为 x 元，当 300 ≤ x ＜ 600 时，85%x = x - 60，解得 x = 400。当 600 ≤ x ＜ 900 时，85%x = x - 120，解得 x = 800。当 900 ≤ x ＜ 1200 时，85%x = x - 180，解得 x = 1200（不符合题意，舍去），所以当 x ≥ 900 时，不存在符合题意的情况。答：当商品原价为 400 元或 800 元时，两种促销方式一样优惠。
(3) 当 0 ＜ m ＜ 300 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 m 元，所以此时促销方式一比促销方式二更优惠；当 300 ≤ m ＜ 600 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 (m - 60) 元，根据题意，得 85%m ＞ m - 60，解得 m ＜ 400；所以当 300 ≤ m ＜ 400 时，促销方式二比促销方式一更优惠。当 600 ≤ m ＜ 900 时，选择促销方式一需付款 85%m 元，选择促销方式二需付款 (m - 120) 元，根据题意，得 85%m ＞ m - 120，解得 m ＜ 800。所以当 600 ≤ x ＜ 800 时，促销方式二比促销方式一更优惠。综上，当 300 ≤ m ＜ 400 或 600 ≤ x ＜ 800 时，促销方式二比促销方式一更优惠。