1. 计算：
(1) $(2025·$ 宿迁期中 $ )x^{5}· x^{3}-(2x^{4})^{2}+x^{10}÷ x^{2}$；
(2) $a^{10}÷ a^{2}-(a^{2})^{4}+3a^{3}· a^{5}$；
(3) $(x - y)^{3}·(y - x)^{8}÷(x - y)^{7}·(y - x)^{5}$。
(1) $(2025·$ 宿迁期中 $ )x^{5}· x^{3}-(2x^{4})^{2}+x^{10}÷ x^{2}$；
(2) $a^{10}÷ a^{2}-(a^{2})^{4}+3a^{3}· a^{5}$；
(3) $(x - y)^{3}·(y - x)^{8}÷(x - y)^{7}·(y - x)^{5}$。
答案：解：(1) 原式 $ = x ^ { 8 } - 4 x ^ { 8 } + x ^ { 8 } = - 2 x ^ { 8 } $。
(2) 原式 $ = a ^ { 8 } - a ^ { 8 } + 3 a ^ { 8 } = 3 a ^ { 8 } $。
(3) 原式 $ = - ( x - y ) ^ { 3 } · ( x - y ) ^ { 8 } ÷ ( x - y ) ^ { 7 } · ( x - y ) ^ { 5 } = - ( x - y ) ^ { 3 + 8 - 7 + 5 } = - ( x - y ) ^ { 9 } $。
(2) 原式 $ = a ^ { 8 } - a ^ { 8 } + 3 a ^ { 8 } = 3 a ^ { 8 } $。
(3) 原式 $ = - ( x - y ) ^ { 3 } · ( x - y ) ^ { 8 } ÷ ( x - y ) ^ { 7 } · ( x - y ) ^ { 5 } = - ( x - y ) ^ { 3 + 8 - 7 + 5 } = - ( x - y ) ^ { 9 } $。
2. $(2025·$ 宿城期中 $ )$
(1) 若 $2^{6}=a^{2}=4^{b}$，求 $a + b$ 的值；
(2) 已知 $a^{6}b^{3}·(a^{4}b^{2})^{y}=(a^{2}b)^{x}$，求 $4x - 8y + 9$ 的值。
(1) 若 $2^{6}=a^{2}=4^{b}$，求 $a + b$ 的值；
(2) 已知 $a^{6}b^{3}·(a^{4}b^{2})^{y}=(a^{2}b)^{x}$，求 $4x - 8y + 9$ 的值。
答案：解：(1) 因为 $ 2 ^ { 6 } = a ^ { 2 } = 4 ^ { b } $，所以 $ a ^ { 2 } = ( 2 ^ { 3 } ) ^ { 2 } $，$ 2 ^ { 2 b } = 2 ^ { 6 } $。
所以 $ a = \pm 8 $，$ b = 3 $。
当 $ a = 8 $，$ b = 3 $ 时，$ a + b = 11 $；
当 $ a = - 8 $，$ b = 3 $ 时，$ a + b = - 5 $。
综上，$ a + b $ 的值为 11 或 - 5。
(2) 因为 $ a ^ { 6 } b ^ { 3 } · ( a ^ { 4 } b ^ { 2 } ) ^ { y } = ( a ^ { 2 } b ) ^ { x } $，所以 $ a ^ { 6 } b ^ { 3 } · a ^ { 4 y } b ^ { 2 y } = a ^ { 2 x } b ^ { x } $。
所以 $ a ^ { 4 y + 6 } b ^ { 2 y + 3 } = a ^ { 2 x } b ^ { x } $，所以 $ 2 y + 3 = x $ 即 $ x - 2 y = 3 $，
所以原式 $ = 4 ( x - 2 y ) + 9 = 4 × 3 + 9 = 21 $。
所以 $ a = \pm 8 $，$ b = 3 $。
当 $ a = 8 $，$ b = 3 $ 时，$ a + b = 11 $；
当 $ a = - 8 $，$ b = 3 $ 时，$ a + b = - 5 $。
综上，$ a + b $ 的值为 11 或 - 5。
(2) 因为 $ a ^ { 6 } b ^ { 3 } · ( a ^ { 4 } b ^ { 2 } ) ^ { y } = ( a ^ { 2 } b ) ^ { x } $，所以 $ a ^ { 6 } b ^ { 3 } · a ^ { 4 y } b ^ { 2 y } = a ^ { 2 x } b ^ { x } $。
所以 $ a ^ { 4 y + 6 } b ^ { 2 y + 3 } = a ^ { 2 x } b ^ { x } $，所以 $ 2 y + 3 = x $ 即 $ x - 2 y = 3 $，
所以原式 $ = 4 ( x - 2 y ) + 9 = 4 × 3 + 9 = 21 $。
3. 已知 $a^{m + n}=5$，$a^{m - n}=4$，求 $a^{2m}$ 和 $a^{2n}$ 的值。
答案：解：因为 $ a ^ { m + n } = 5 $，$ a ^ { m - n } = 4 $，
所以 $ a ^ { 2 m } = a ^ { m + n } · a ^ { m - n } = 5 × 4 = 20 $，
$ a ^ { 2 n } = a ^ { m + n } ÷ a ^ { m - n } = 5 ÷ 4 = \frac { 5 } { 4 } $。
所以 $ a ^ { 2 m } = a ^ { m + n } · a ^ { m - n } = 5 × 4 = 20 $，
$ a ^ { 2 n } = a ^ { m + n } ÷ a ^ { m - n } = 5 ÷ 4 = \frac { 5 } { 4 } $。
4. 计算：
(1) $16^{a + 1}×4^{a + 2}÷8^{2a}$；
(2) $2^{4}×4^{m}×8^{m - 1}+(2^{m})^{5}×2$（$m$ 为正整数）。
(1) $16^{a + 1}×4^{a + 2}÷8^{2a}$；
(2) $2^{4}×4^{m}×8^{m - 1}+(2^{m})^{5}×2$（$m$ 为正整数）。
答案：解：(1) 原式 $ = 2 ^ { 4 a + 4 } × 2 ^ { 2 a + 4 } ÷ 2 ^ { 6 a } = 2 ^ { 8 } = 256 $。
(2) 原式 $ = 2 ^ { 4 } × ( 2 ^ { 2 } ) ^ { m } × ( 2 ^ { 3 } ) ^ { m - 1 } + 2 ^ { 5 m } × 2 = 2 ^ { 4 } × 2 ^ { 2 m } × 2 ^ { 3 ( m - 1 ) } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 4 + 2 m + 3 ( m - 1 ) } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 5 m + 1 } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 5 m + 2 } $。
(2) 原式 $ = 2 ^ { 4 } × ( 2 ^ { 2 } ) ^ { m } × ( 2 ^ { 3 } ) ^ { m - 1 } + 2 ^ { 5 m } × 2 = 2 ^ { 4 } × 2 ^ { 2 m } × 2 ^ { 3 ( m - 1 ) } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 4 + 2 m + 3 ( m - 1 ) } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 5 m + 1 } + 2 ^ { 5 m + 1 } = 2 ^ { 5 m + 2 } $。