5. $(2024·$ 徐州期中 $ )$ 已知 $6^{x}=192$，$32^{y}=192$，求代数式 $(-2024)^{(x - 1)(y - 1)-2}$ 的值。
答案：解：因为 $ 6 ^ { x } = 192 $，$ 32 ^ { y } = 192 $，
所以 $ 6 × 6 ^ { x - 1 } = 6 × 32 $，$ 32 × 32 ^ { y - 1 } = 6 × 32 $，
所以 $ 6 ^ { x - 1 } = 32 $，$ 32 ^ { y - 1 } = 6 $，
所以 $ ( 6 ^ { x - 1 } ) ^ { y - 1 } = 6 $，即 $ 6 ^ { ( x - 1 ) ( y - 1 ) } = 6 $，
所以 $ ( x - 1 ) ( y - 1 ) = 1 $，
所以原式 $ = ( - 2024 ) ^ { 1 - 2 } = ( - 2024 ) ^ { - 1 } = - \frac { 1 } { 2024 } $。
所以 $ 6 × 6 ^ { x - 1 } = 6 × 32 $，$ 32 × 32 ^ { y - 1 } = 6 × 32 $，
所以 $ 6 ^ { x - 1 } = 32 $，$ 32 ^ { y - 1 } = 6 $，
所以 $ ( 6 ^ { x - 1 } ) ^ { y - 1 } = 6 $，即 $ 6 ^ { ( x - 1 ) ( y - 1 ) } = 6 $，
所以 $ ( x - 1 ) ( y - 1 ) = 1 $，
所以原式 $ = ( - 2024 ) ^ { 1 - 2 } = ( - 2024 ) ^ { - 1 } = - \frac { 1 } { 2024 } $。
6.
(1) 已知 $a = 16^{31}$，$b = 8^{41}$，$c = 4^{61}$，比较 $a$，$b$，$c$ 的大小；
(2) 比较 $3^{100}$ 与 $5^{60}$ 的大小。
(1) 已知 $a = 16^{31}$，$b = 8^{41}$，$c = 4^{61}$，比较 $a$，$b$，$c$ 的大小；
(2) 比较 $3^{100}$ 与 $5^{60}$ 的大小。
答案：解：(1) 因为 $ a = 16 ^ { 31 } = ( 2 ^ { 4 } ) ^ { 31 } = 2 ^ { 124 } $，$ b = 8 ^ { 41 } = ( 2 ^ { 3 } ) ^ { 41 } = 2 ^ { 123 } $，$ c = 4 ^ { 61 } = ( 2 ^ { 2 } ) ^ { 61 } = 2 ^ { 122 } $，且 $ 124 ＞ 123 ＞ 122 $，所以 $ a ＞ b ＞ c $。
(2) 因为 $ 3 ^ { 100 } = ( 3 ^ { 5 } ) ^ { 20 } = 243 ^ { 20 } $，$ 5 ^ { 60 } = ( 5 ^ { 3 } ) ^ { 20 } = 125 ^ { 20 } $，且 $ 243 ＞ 125 $，所以 $ 3 ^ { 100 } ＞ 5 ^ { 60 } $。
(2) 因为 $ 3 ^ { 100 } = ( 3 ^ { 5 } ) ^ { 20 } = 243 ^ { 20 } $，$ 5 ^ { 60 } = ( 5 ^ { 3 } ) ^ { 20 } = 125 ^ { 20 } $，且 $ 243 ＞ 125 $，所以 $ 3 ^ { 100 } ＞ 5 ^ { 60 } $。
7.
(1) 若 $N = 2^{12}×5^{9}$，试确定整数 $N$ 的位数；
(2) 试确定 $2^{2024}×3^{2025}$ 的个位数字。
(1) 若 $N = 2^{12}×5^{9}$，试确定整数 $N$ 的位数；
(2) 试确定 $2^{2024}×3^{2025}$ 的个位数字。
答案：解：(1) 因为 $ N = 2 ^ { 12 } × 5 ^ { 9 } = 2 ^ { 3 } × 2 ^ { 9 } × 5 ^ { 9 } = 8 × ( 2 × 5 ) ^ { 9 } = 8 × 10 ^ { 9 } $，所以 $ N $ 是一个十位数。
(2) 因为 $ 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2025 } = ( 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2024 } ) × 3 = 6 ^ { 2024 } × 3 $，
又因为 $ 6 ^ { 2024 } $ 的个位数字是 6，
所以 $ 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2025 } = 6 ^ { 2024 } × 3 $ 的个位数字是 8。
(2) 因为 $ 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2025 } = ( 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2024 } ) × 3 = 6 ^ { 2024 } × 3 $，
又因为 $ 6 ^ { 2024 } $ 的个位数字是 6，
所以 $ 2 ^ { 2024 } × 3 ^ { 2025 } = 6 ^ { 2024 } × 3 $ 的个位数字是 8。
8. 解下列关于 $x$ 的方程：
(1) $25^{x - 2}=5^{x + 5}$；
(2) $4^{x + 1}×3^{x}-4^{x}×3^{x + 1}=2^{3}×6^{3}$。
(1) $25^{x - 2}=5^{x + 5}$；
(2) $4^{x + 1}×3^{x}-4^{x}×3^{x + 1}=2^{3}×6^{3}$。
答案：解：(1) 因为 $ 25 ^ { x - 2 } = 5 ^ { x + 5 } $，所以 $ 5 ^ { 2 ( x - 2 ) } = 5 ^ { x + 5 } $，
所以 $ 2 ( x - 2 ) = x + 5 $，所以 $ 2 x - 4 = x + 5 $，所以 $ x = 9 $。
(2) 因为 $ 4 ^ { x + 1 } × 3 ^ { x } - 4 ^ { x } × 3 ^ { x + 1 } = 2 ^ { 3 } × 6 ^ { 3 } $，
所以 $ 4 × 4 ^ { x } × 3 ^ { x } - 3 × 4 ^ { x } × 3 ^ { x } = ( 2 × 6 ) ^ { 3 } $，
所以 $ 4 × ( 4 × 3 ) ^ { x } - 3 × ( 4 × 3 ) ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ ( 4 - 3 ) × 12 ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ 12 ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ x = 3 $。
所以 $ 2 ( x - 2 ) = x + 5 $，所以 $ 2 x - 4 = x + 5 $，所以 $ x = 9 $。
(2) 因为 $ 4 ^ { x + 1 } × 3 ^ { x } - 4 ^ { x } × 3 ^ { x + 1 } = 2 ^ { 3 } × 6 ^ { 3 } $，
所以 $ 4 × 4 ^ { x } × 3 ^ { x } - 3 × 4 ^ { x } × 3 ^ { x } = ( 2 × 6 ) ^ { 3 } $，
所以 $ 4 × ( 4 × 3 ) ^ { x } - 3 × ( 4 × 3 ) ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ ( 4 - 3 ) × 12 ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ 12 ^ { x } = 12 ^ { 3 } $，
所以 $ x = 3 $。
9. 若 $a^{m}=a^{n}$（$a＞0$ 且 $a≠1$，$m$，$n$ 是正整数），则 $m = n$。利用上面的结论解决下面的问题：
(1) 如果 $2^{x + 1}·2^{x}=2^{5}$，求 $x$ 的值；
(2) 如果 $2^{x + 1}+2^{x}=24$，求 $x$ 的值。
(1) 如果 $2^{x + 1}·2^{x}=2^{5}$，求 $x$ 的值；
(2) 如果 $2^{x + 1}+2^{x}=24$，求 $x$ 的值。
答案：解：(1) 因为 $ 2 ^ { x + 1 } · 2 ^ { x } = 2 ^ { 5 } $，所以 $ 2 ^ { x + 1 + x } = 2 ^ { 5 } $，
所以 $ 2 ^ { 2 x + 1 } = 2 ^ { 5 } $，所以 $ 2 x + 1 = 5 $，所以 $ x = 2 $。
(2) 因为 $ 2 ^ { x + 1 } + 2 ^ { x } = 24 $，所以 $ ( 2 + 1 ) × 2 ^ { x } = 24 $，
所以 $ 2 ^ { x } = 8 = 2 ^ { 3 } $，所以 $ x = 3 $。
所以 $ 2 ^ { 2 x + 1 } = 2 ^ { 5 } $，所以 $ 2 x + 1 = 5 $，所以 $ x = 2 $。
(2) 因为 $ 2 ^ { x + 1 } + 2 ^ { x } = 24 $，所以 $ ( 2 + 1 ) × 2 ^ { x } = 24 $，
所以 $ 2 ^ { x } = 8 = 2 ^ { 3 } $，所以 $ x = 3 $。