10. (2024·昆山期末)两块不同的三角尺按如图①所示摆放，$AC$边重合，$∠ BAC = 45^{\circ}$，$∠ DAC = 30^{\circ}$.然后保持三角尺$ABC$不动，将三角尺$ACD$绕着点$C$按顺时针方向以每秒$10^{\circ}$的速度旋转$90^{\circ}$后停止，如图②.在此旋转过程中，当旋转时间$t =$
3 或 4.5 或 7.5
秒时，三角尺$A'CD'$有一条边与三角尺$ABC$的一条边恰好平行.答案：10. 3 或 4.5 或 7.5
解析：
解：设旋转时间为$t$秒，旋转角$∠ ACA' = 10t^{\circ}$。
情况一：$A'C // AB$
$∠ BAC = 45^{\circ}$，$A'C // AB$，则$∠ ACA' = ∠ BAC = 45^{\circ}$，$10t = 45$，解得$t = 4.5$。
情况二：$CD' // AB$
$∠ BAC = 45^{\circ}$，$∠ ACD = 60^{\circ}$，$CD' // AB$，则$∠ ACA' + ∠ ACD = 180^{\circ} - 45^{\circ}$，$10t + 60 = 135$，解得$t = 7.5$。
情况三：$A'D' // BC$
$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A'D'C = 60^{\circ}$，$A'D' // BC$，则$∠ ACA' = ∠ A'D'C = 30^{\circ}$，$10t = 30$，解得$t = 3$。
综上，$t = 3$或$4.5$或$7.5$。
3 或 4.5 或 7.5
情况一：$A'C // AB$
$∠ BAC = 45^{\circ}$，$A'C // AB$，则$∠ ACA' = ∠ BAC = 45^{\circ}$，$10t = 45$，解得$t = 4.5$。
情况二：$CD' // AB$
$∠ BAC = 45^{\circ}$，$∠ ACD = 60^{\circ}$，$CD' // AB$，则$∠ ACA' + ∠ ACD = 180^{\circ} - 45^{\circ}$，$10t + 60 = 135$，解得$t = 7.5$。
情况三：$A'D' // BC$
$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A'D'C = 60^{\circ}$，$A'D' // BC$，则$∠ ACA' = ∠ A'D'C = 30^{\circ}$，$10t = 30$，解得$t = 3$。
综上，$t = 3$或$4.5$或$7.5$。
3 或 4.5 或 7.5
11. (2024·兴化期末)如图，直线$EF// GH$，给出下列信息:①$AC⊥ BC$；②$CB$平分$∠ DCH$；③$∠ ACD = ∠ DAC$.
(1)请在上述3个信息中选择其中2个作为条件，其余的1个信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
(2)在(1)的条件下，若$∠ ACG$比$∠ BCH$的2倍少$3^{\circ}$，求$∠ DAC$的度数.
(1)请在上述3个信息中选择其中2个作为条件，其余的1个信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
①②
，结论是③
，并说明理由；(填序号)(2)在(1)的条件下，若$∠ ACG$比$∠ BCH$的2倍少$3^{\circ}$，求$∠ DAC$的度数.
答案：11. 解：（1）（答案不唯一）
条件：①②，结论：③. 理由如下：
因为 CB 平分 $∠ DCH$，所以 $∠ BCD=∠ BCH$.
因为 $AC⊥ BC$，
所以 $∠ ACD+∠ BCD=90^{\circ}$，$∠ ACG+∠ BCH=90^{\circ}$，
所以 $∠ ACD=∠ ACG$.
因为 $EF// GH$，所以 $∠ ACG=∠ DAC$，
所以 $∠ ACD=∠ DAC$.
（2）由（1）得 $∠ ACG+∠ BCH=90^{\circ}$.
因为 $∠ ACG$ 比 $∠ BCH$ 的 2 倍少 $3^{\circ}$，
所以 $∠ ACG=2∠ BCH-3^{\circ}$，
所以 $2∠ BCH-3^{\circ}+∠ BCH=90^{\circ}$，
所以 $∠ BCH=31^{\circ}$，所以 $∠ ACG=90^{\circ}-∠ BCH=59^{\circ}$，
所以 $∠ DAC=∠ ACG=59^{\circ}$.
条件：①②，结论：③. 理由如下：
因为 CB 平分 $∠ DCH$，所以 $∠ BCD=∠ BCH$.
因为 $AC⊥ BC$，
所以 $∠ ACD+∠ BCD=90^{\circ}$，$∠ ACG+∠ BCH=90^{\circ}$，
所以 $∠ ACD=∠ ACG$.
因为 $EF// GH$，所以 $∠ ACG=∠ DAC$，
所以 $∠ ACD=∠ DAC$.
（2）由（1）得 $∠ ACG+∠ BCH=90^{\circ}$.
因为 $∠ ACG$ 比 $∠ BCH$ 的 2 倍少 $3^{\circ}$，
所以 $∠ ACG=2∠ BCH-3^{\circ}$，
所以 $2∠ BCH-3^{\circ}+∠ BCH=90^{\circ}$，
所以 $∠ BCH=31^{\circ}$，所以 $∠ ACG=90^{\circ}-∠ BCH=59^{\circ}$，
所以 $∠ DAC=∠ ACG=59^{\circ}$.
12. 如图，$CD// AF$，$∠ CDE = ∠ BAF$，$AB⊥ BC$，$∠ BCD = 124^{\circ}$，$∠ DEF = 80^{\circ}$.
(1)写出直线$AB$与直线$DE$的位置关系，并说明理由；
(2)求$∠ AFE$的度数.
(1)写出直线$AB$与直线$DE$的位置关系，并说明理由；
(2)求$∠ AFE$的度数.
答案：
12. 解：（1）$AB// DE$，理由：如答图，延长 AF，DE 交于点 G.
因为 $CD// AF$，所以 $∠ CDE+∠ G=180^{\circ}$.
因为 $∠ CDE=∠ BAF$，所以 $∠ BAF+∠ G=180^{\circ}$，
所以 $AB// DE$.
（2）如答图，延长 BC，ED 交于点 H.
因为 $AB⊥ BC$，所以 $∠ B=90^{\circ}$.
因为 $AB// DE$，所以 $∠ B+∠ H=180^{\circ}$，所以 $∠ H=90^{\circ}$.
因为 $∠ BCD=124^{\circ}$，所以 $∠ DCH=180^{\circ}-∠ BCD=56^{\circ}$，
所以 $∠ CDH=90^{\circ}-∠ DCH=34^{\circ}$.
因为 $CD// AF$，所以 $∠ G=∠ CDH=34^{\circ}$.
因为 $∠ DEF=80^{\circ}$，所以 $∠ FEG=180^{\circ}-∠ DEF=100^{\circ}$，
所以 $∠ AFE=∠ G+∠ FEG=34^{\circ}+100^{\circ}=134^{\circ}$.
12. 解：（1）$AB// DE$，理由：如答图，延长 AF，DE 交于点 G.
因为 $CD// AF$，所以 $∠ CDE+∠ G=180^{\circ}$.
因为 $∠ CDE=∠ BAF$，所以 $∠ BAF+∠ G=180^{\circ}$，
所以 $AB// DE$.
（2）如答图，延长 BC，ED 交于点 H.
因为 $AB⊥ BC$，所以 $∠ B=90^{\circ}$.
因为 $AB// DE$，所以 $∠ B+∠ H=180^{\circ}$，所以 $∠ H=90^{\circ}$.
因为 $∠ BCD=124^{\circ}$，所以 $∠ DCH=180^{\circ}-∠ BCD=56^{\circ}$，
所以 $∠ CDH=90^{\circ}-∠ DCH=34^{\circ}$.
因为 $CD// AF$，所以 $∠ G=∠ CDH=34^{\circ}$.
因为 $∠ DEF=80^{\circ}$，所以 $∠ FEG=180^{\circ}-∠ DEF=100^{\circ}$，
所以 $∠ AFE=∠ G+∠ FEG=34^{\circ}+100^{\circ}=134^{\circ}$.