1. (2025·宿城区期末)下列命题:①如果$ab = 0$，那么$a = 0$；②同旁内角互补，两直线平行；③两个锐角的和是钝角；④若$ac^{2}＞bc^{2}$，则$a＞b$.其中真命题的个数为 (
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
)A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：1. B
解析：
①假命题，当$ab = 0$时，$a = 0$或$b = 0$；
②真命题；
③假命题，例如两个$30^{\circ}$的锐角和为$60^{\circ}$，是锐角；
④真命题，因为$c^{2} ≥ 0$，由$ac^{2}＞bc^{2}$可得$c^{2}＞0$，所以$a＞b$。
真命题有②④，共2个。
B
②真命题；
③假命题，例如两个$30^{\circ}$的锐角和为$60^{\circ}$，是锐角；
④真命题，因为$c^{2} ≥ 0$，由$ac^{2}＞bc^{2}$可得$c^{2}＞0$，所以$a＞b$。
真命题有②④，共2个。
B
2. 下列说法:①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③假命题的逆命题是真命题；④每个定理都有逆定理；⑤每个定理一定有逆命题.其中正确的有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：2. A
解析：
①每个命题都有逆命题，正确；
②真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，错误；
③假命题的逆命题不一定是真命题，例如“若$a=b$，则$a^2=b^2$”的逆命题“若$a^2=b^2$，则$a=b$”是假命题，错误；
④每个定理不一定有逆定理，只有逆命题是真命题的定理才有逆定理，错误；
⑤每个定理一定有逆命题，正确。
正确的有①⑤，共2个。
A
②真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，错误；
③假命题的逆命题不一定是真命题，例如“若$a=b$，则$a^2=b^2$”的逆命题“若$a^2=b^2$，则$a=b$”是假命题，错误；
④每个定理不一定有逆定理，只有逆命题是真命题的定理才有逆定理，错误；
⑤每个定理一定有逆命题，正确。
正确的有①⑤，共2个。
A
3. (2024·齐齐哈尔)将一个含$30^{\circ}$角的三角尺和直尺如图放置，若$∠ 1 = 50^{\circ}$，则$∠ 2$的度数是 (
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案：3. B
解析：
解：如图，直尺的上下两边平行，根据两直线平行，同位角相等，可得三角尺的$30^{\circ}$角的另一边与直尺下边所成的角等于$∠1 = 50^{\circ}$。
三角尺的内角和为$180^{\circ}$，其中一个角为$90^{\circ}$，一个角为$30^{\circ}$，则另一个角为$60^{\circ}$。
所以$∠2 = 180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
答案：B
三角尺的内角和为$180^{\circ}$，其中一个角为$90^{\circ}$，一个角为$30^{\circ}$，则另一个角为$60^{\circ}$。
所以$∠2 = 180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
答案：B
4. 如图，$∠ DAC = 60^{\circ}$，$AC$平分$∠ DAB$，$BC$平分$∠ ABF$，$BC⊥ AC$，则下列结论错误的是 (
A.$DE// FG$
B.$∠ CBF = 30^{\circ}$
C.$∠ ABG = 120^{\circ}$
D.$∠ CBG = 160^{\circ}$
D
)A.$DE// FG$
B.$∠ CBF = 30^{\circ}$
C.$∠ ABG = 120^{\circ}$
D.$∠ CBG = 160^{\circ}$
答案：4. D
解析：
证明：
∵AC平分∠DAB，∠DAC=60°，
∴∠DAB=2∠DAC=120°，∠CAB=∠DAC=60°．
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=30°．
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABF=2∠ABC=60°，∠CBF=∠ABC=30°（B正确）．
∵∠ABF+∠ABG=180°，
∴∠ABG=180°-∠ABF=120°（C正确），
∠CBG=∠ABG+∠ABC=120°+30°=150°（D错误）．
∵∠DAB+∠ABF=120°+60°=180°，
∴DE//FG（A正确）．
结论错误的是D．
D
∵AC平分∠DAB，∠DAC=60°，
∴∠DAB=2∠DAC=120°，∠CAB=∠DAC=60°．
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=30°．
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABF=2∠ABC=60°，∠CBF=∠ABC=30°（B正确）．
∵∠ABF+∠ABG=180°，
∴∠ABG=180°-∠ABF=120°（C正确），
∠CBG=∠ABG+∠ABC=120°+30°=150°（D错误）．
∵∠DAB+∠ABF=120°+60°=180°，
∴DE//FG（A正确）．
结论错误的是D．
D
5. 用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设 (
A.有三个直角
B.有四个直角
C.至少有四个内角是直角
D.至少有五个内角是直角
D
)A.有三个直角
B.有四个直角
C.至少有四个内角是直角
D.至少有五个内角是直角
答案：5. D
6. (2024·宿城区期末)命题“同位角相等”的逆命题是
相等的两个角是同位角
.答案：6. 相等的两个角是同位角
7. (2024·鼓楼区期末)用一个整数$m$的值说明命题“代数式$2m^{2}-5$的值一定大于代数式$m^{2}-1$的值”是假命题，这个整数$m$的值可以是
0（答案不唯一）
. (写出一个即可)答案：7. 0（答案不唯一）
8. 如图，$O$是$△ ABC$内角平分线的交点，$I$是$△ ABC$外角平分线的交点，则$∠ O$与$∠ I$的数量关系是
$∠ O+∠ I=180^{\circ}$
.答案：8. $∠ O+∠ I=180^{\circ}$
解析：
证明：
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠O=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵I是△ABC外角平分线的交点，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)，∠ICB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)，
∴∠I=180°-$\frac{1}{2}$[(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)]=180°-$\frac{1}{2}$(360°-180°+∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠O+∠I=90°+$\frac{1}{2}$∠A+90°-$\frac{1}{2}$∠A=180°.
结论：∠O+∠I=180°.
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠O=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵I是△ABC外角平分线的交点，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)，∠ICB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)，
∴∠I=180°-$\frac{1}{2}$[(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)]=180°-$\frac{1}{2}$(360°-180°+∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠O+∠I=90°+$\frac{1}{2}$∠A+90°-$\frac{1}{2}$∠A=180°.
结论：∠O+∠I=180°.
9. 如图，$AB// CD$，且$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ D = 24^{\circ}$，则$∠ E = $
$16^{\circ}$
.答案：9. $16^{\circ}$
解析：
解：延长AE交CD于点F。
∵AB//CD，∠A=40°，
∴∠AFC=∠A=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠AFC是△DEF的外角，∠D=24°，
∴∠AFC=∠D+∠E，
∴∠E=∠AFC-∠D=40°-24°=16°。
故∠E=16°。
∵AB//CD，∠A=40°，
∴∠AFC=∠A=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠AFC是△DEF的外角，∠D=24°，
∴∠AFC=∠D+∠E，
∴∠E=∠AFC-∠D=40°-24°=16°。
故∠E=16°。