11. 已知方程组 $\begin{cases}x - y = 1 + 3a,\\x + y = - 7 - a\end{cases}$ 的解中 $x$ 是非正数，$y$ 是负数.
(1)求 $a$ 的取值范围；
(2)化简：$\vert a + 2\vert - \vert a - 3\vert$.
(1)求 $a$ 的取值范围；
(2)化简：$\vert a + 2\vert - \vert a - 3\vert$.
答案：11. 解：(1) $ \begin{cases}x - y = 1 + 3a,①\\x + y = -7 - a,②\end{cases} $
① + ②，得 $ 2x = 2a - 6 $，解得 $ x = a - 3 $.
② - ①，得 $ 2y = -4a - 8 $，解得 $ y = -2a - 4 $.
所以原方程组的解为 $ \begin{cases}x = a - 3,\\y = -2a - 4.\end{cases} $
因为 $ x $ 是非正数，$ y $ 是负数，所以 $ \begin{cases}a - 3≤ 0,\\-2a - 4 ＜ 0,\end{cases} $
解得 $ -2 ＜ a≤ 3 $.
(2) 由(1)得 $ a + 2 ＞ 0 $，$ a - 3≤ 0 $，
所以原式 $ = (a + 2) - (3 - a) = a + 2 - 3 + a = 2a - 1 $.
① + ②，得 $ 2x = 2a - 6 $，解得 $ x = a - 3 $.
② - ①，得 $ 2y = -4a - 8 $，解得 $ y = -2a - 4 $.
所以原方程组的解为 $ \begin{cases}x = a - 3,\\y = -2a - 4.\end{cases} $
因为 $ x $ 是非正数，$ y $ 是负数，所以 $ \begin{cases}a - 3≤ 0,\\-2a - 4 ＜ 0,\end{cases} $
解得 $ -2 ＜ a≤ 3 $.
(2) 由(1)得 $ a + 2 ＞ 0 $，$ a - 3≤ 0 $，
所以原式 $ = (a + 2) - (3 - a) = a + 2 - 3 + a = 2a - 1 $.
12. (2025·宿城区期末)先阅读下面的例题，再按要求解答问题：求代数式 $x^{2}+6x + 10$ 的最小值.
解：$x^{2}+6x + 10 = x^{2}+6x + 9 + 1 = (x + 3)^{2}+1$，
$\because(x + 3)^{2}≥ 0,\therefore(x + 3)^{2}+1≥ 1,\therefore x^{2}+6x + 10$ 的最小值是 $1$.
(1)代数式 $x^{2}-4x + 3$ 的最小值为
(2)已知 $a,b$ 为任意值，试比较 $4a^{2}+b^{2}+11$ 与 $12a - 2b$ 的大小，并说明理由.
(3)已知有理数 $x,y$ 满足 $-x^{2}+3x + y - 5 = 0$，求 $x + y$ 的最小值.
解：$x^{2}+6x + 10 = x^{2}+6x + 9 + 1 = (x + 3)^{2}+1$，
$\because(x + 3)^{2}≥ 0,\therefore(x + 3)^{2}+1≥ 1,\therefore x^{2}+6x + 10$ 的最小值是 $1$.
(1)代数式 $x^{2}-4x + 3$ 的最小值为
-1
.(2)已知 $a,b$ 为任意值，试比较 $4a^{2}+b^{2}+11$ 与 $12a - 2b$ 的大小，并说明理由.
(3)已知有理数 $x,y$ 满足 $-x^{2}+3x + y - 5 = 0$，求 $x + y$ 的最小值.
答案：12. (1) -1
(2) 解：$ 4a^{2} + b^{2} + 11 ＞ 12a - 2b $，理由如下：
$ (4a^{2} + b^{2} + 11) - (12a - 2b) $
$ = 4a^{2} + b^{2} + 11 - 12a + 2b $
$ = 4a^{2} - 12a + b^{2} + 2b + 11 $
$ = 4a^{2} - 12a + 9 + b^{2} + 2b + 1 + 1 $
$ = (2a - 3)^{2} + (b + 1)^{2} + 1 $，
因为无论 $ a $，$ b $ 取何值，都有 $ (2a - 3)^{2} + (b + 1)^{2} + 1≥ 1 ＞ 0 $，
所以 $ (4a^{2} + b^{2} + 11) - (12a - 2b) ＞ 0 $，
所以 $ 4a^{2} + b^{2} + 11 ＞ 12a - 2b $.
(3) 解：因为 $ -x^{2} + 3x + y - 5 = 0 $，
所以 $ y = x^{2} - 3x + 5 $，
所以 $ x + y = x + x^{2} - 3x + 5 = x^{2} - 2x + 1 + 4 = (x - 1)^{2} + 4≥ 4 $，
所以当 $ x = 1 $ 时，$ x + y $ 有最小值，最小值为 4.
(2) 解：$ 4a^{2} + b^{2} + 11 ＞ 12a - 2b $，理由如下：
$ (4a^{2} + b^{2} + 11) - (12a - 2b) $
$ = 4a^{2} + b^{2} + 11 - 12a + 2b $
$ = 4a^{2} - 12a + b^{2} + 2b + 11 $
$ = 4a^{2} - 12a + 9 + b^{2} + 2b + 1 + 1 $
$ = (2a - 3)^{2} + (b + 1)^{2} + 1 $，
因为无论 $ a $，$ b $ 取何值，都有 $ (2a - 3)^{2} + (b + 1)^{2} + 1≥ 1 ＞ 0 $，
所以 $ (4a^{2} + b^{2} + 11) - (12a - 2b) ＞ 0 $，
所以 $ 4a^{2} + b^{2} + 11 ＞ 12a - 2b $.
(3) 解：因为 $ -x^{2} + 3x + y - 5 = 0 $，
所以 $ y = x^{2} - 3x + 5 $，
所以 $ x + y = x + x^{2} - 3x + 5 = x^{2} - 2x + 1 + 4 = (x - 1)^{2} + 4≥ 4 $，
所以当 $ x = 1 $ 时，$ x + y $ 有最小值，最小值为 4.
13. (2025·宿豫区期末)某农场收割小麦，已知 $1$ 台大型收割机和 $3$ 台小型收割机 $1$ 小时可以收割小麦 $1.4$ 公顷，$2$ 台大型收割机和 $5$ 台小型收割机 $1$ 小时可以收割小麦 $2.5$ 公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机 $1$ 小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为 $300$ 元，小型收割机每小时费用为 $200$ 元，两种型号的收割机一共有 $10$ 台，要求 $2$ 小时完成 $8$ 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 $5400$ 元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机 $1$ 小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为 $300$ 元，小型收割机每小时费用为 $200$ 元，两种型号的收割机一共有 $10$ 台，要求 $2$ 小时完成 $8$ 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 $5400$ 元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.
答案：13. 解：(1) 设每台大型收割机 1 小时收割小麦 $ x $ 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 $ y $ 公顷，
根据题意，得 $ \begin{cases}x + 3y = 1.4,\\2x + 5y = 2.5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x = 0.5,\\y = 0.3.\end{cases} $
答：每台大型收割机 1 小时收割小麦 0.5 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 0.3 公顷.
(2) 设大型收割机有 $ m $ 台，总费用为 $ w $ 元，则小型收割机有 $ (10 - m) $ 台，根据题意，
得 $ w = 300×2m + 200×2(10 - m) = 200m + 4000 $.
因为 2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，所以 $ \begin{cases}2×0.5m + 2×0.3(10 - m)≥ 8,\\200m + 4000≤ 5400,\end{cases} $
解得 $ 5≤ m≤ 7 $.
因为 $ m $ 为整数，
所以 $ m $ 的值为 5，6，7，即共有 3 种方案.
易知，当 $ m = 5 $ 时，总费用取最小值，最小值为 5000 元，此时 $ 10 - m = 5 $.
答：有 3 种方案，当大型收割机和小型收割机各 5 台时，总费用最低，最低费用为 5000 元.
根据题意，得 $ \begin{cases}x + 3y = 1.4,\\2x + 5y = 2.5,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x = 0.5,\\y = 0.3.\end{cases} $
答：每台大型收割机 1 小时收割小麦 0.5 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 0.3 公顷.
(2) 设大型收割机有 $ m $ 台，总费用为 $ w $ 元，则小型收割机有 $ (10 - m) $ 台，根据题意，
得 $ w = 300×2m + 200×2(10 - m) = 200m + 4000 $.
因为 2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，所以 $ \begin{cases}2×0.5m + 2×0.3(10 - m)≥ 8,\\200m + 4000≤ 5400,\end{cases} $
解得 $ 5≤ m≤ 7 $.
因为 $ m $ 为整数，
所以 $ m $ 的值为 5，6，7，即共有 3 种方案.
易知，当 $ m = 5 $ 时，总费用取最小值，最小值为 5000 元，此时 $ 10 - m = 5 $.
答：有 3 种方案，当大型收割机和小型收割机各 5 台时，总费用最低，最低费用为 5000 元.