1. (2024·鼓楼区期末)关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - y = 2k - 3,\\x - 2y = k\end{cases}$ 的解满足 $x$ 与 $y$ 的和大于 $5$，则 $k$ 的取值范围为( )
A. $k＞8$
B. $k＜8$
C. $k＞-2$
D. $k＜-2$
A. $k＞8$
B. $k＜8$
C. $k＞-2$
D. $k＜-2$
答案：1. A
解析：
$\begin{cases}2x - y = 2k - 3,\\x - 2y = k\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x - 3y = 3k - 3$，化简得$x - y = k - 1$。
将第一个方程减第二个方程得：$x + y = k - 3$。
因为$x + y ＞ 5$，所以$k - 3 ＞ 5$，解得$k ＞ 8$。
A
将两个方程相加得：$3x - 3y = 3k - 3$，化简得$x - y = k - 1$。
将第一个方程减第二个方程得：$x + y = k - 3$。
因为$x + y ＞ 5$，所以$k - 3 ＞ 5$，解得$k ＞ 8$。
A
2. (2024·锡山区期末)已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}x - 1≥ a,\\x + 5≤ b\end{cases}$ 的解集是 $3≤ x≤ 5$，则 $a,b$ 的值分别为( )
A.$a = 2,b = 10$
B.$a = 2,b = 0$
C.$a = 4,b = 10$
D.$a = 4,b = 0$
A.$a = 2,b = 10$
B.$a = 2,b = 0$
C.$a = 4,b = 10$
D.$a = 4,b = 0$
答案：2. A
解析：
解不等式组$\begin{cases}x - 1≥ a \\x + 5≤ b\end{cases}$，得$\begin{cases}x≥ a + 1 \\x≤ b - 5\end{cases}$。
因为不等式组的解集是$3≤ x≤ 5$，所以$a + 1 = 3$，$b - 5 = 5$。
解得$a = 2$，$b = 10$。
A
因为不等式组的解集是$3≤ x≤ 5$，所以$a + 1 = 3$，$b - 5 = 5$。
解得$a = 2$，$b = 10$。
A
3. (2024·宿城区模拟)小明带了 $10$ 元钱到文具店购买签字笔和练习本两种文具，已知签字笔的价格为 $2$ 元/支，练习本的价格为 $3$ 元/本. 如果 $10$ 元恰好用完，那么小明的购买方案共有(
A.$0$ 种
B.$1$ 种
C.$2$ 种
D.$3$ 种
B
)A.$0$ 种
B.$1$ 种
C.$2$ 种
D.$3$ 种
答案：3. B
解析：
设购买签字笔$x$支，练习本$y$本，其中$x$，$y$为非负整数。
根据题意，得$2x + 3y=10$。
当$y=0$时，$2x=10$，解得$x=5$；
当$y=1$时，$2x + 3=10$，解得$x=\frac{7}{2}$，不是整数，舍去；
当$y=2$时，$2x + 6=10$，解得$x=2$；
当$y=3$时，$2x + 9=10$，解得$x=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
当$y≥4$时，$3y≥12＞10$，不符合题意。
所以满足条件的非负整数解为$\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}$，$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$，共2种购买方案。
B
根据题意，得$2x + 3y=10$。
当$y=0$时，$2x=10$，解得$x=5$；
当$y=1$时，$2x + 3=10$，解得$x=\frac{7}{2}$，不是整数，舍去；
当$y=2$时，$2x + 6=10$，解得$x=2$；
当$y=3$时，$2x + 9=10$，解得$x=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
当$y≥4$时，$3y≥12＞10$，不符合题意。
所以满足条件的非负整数解为$\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}$，$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$，共2种购买方案。
B
4. 已知 $a$ 是正整数，方程组 $\begin{cases}ax + 4y = 8,\\3x + 2y = 6\end{cases}$ 的解满足 $x＞0,y＜0$，则 $a$ 的值是( )
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案：4. B
解析：
解：解方程组$\begin{cases}ax + 4y = 8 \\3x + 2y = 6 \end{cases}$，
由$3x + 2y = 6$得$2y=6 - 3x$，代入$ax + 4y = 8$，
得$ax + 2(6 - 3x)=8$，
$ax + 12 - 6x=8$，
$(a - 6)x=-4$，
$x=\dfrac{4}{6 - a}$。
将$x=\dfrac{4}{6 - a}$代入$3x + 2y = 6$，
得$3×\dfrac{4}{6 - a}+2y=6$，
$\dfrac{12}{6 - a}+2y=6$，
$2y=6 - \dfrac{12}{6 - a}=\dfrac{6(6 - a)-12}{6 - a}=\dfrac{36 - 6a - 12}{6 - a}=\dfrac{24 - 6a}{6 - a}=\dfrac{6(4 - a)}{6 - a}$，
$y=\dfrac{3(4 - a)}{6 - a}$。
因为$x＞0$，$y＜0$，
所以$\begin{cases}\dfrac{4}{6 - a}＞0 \\ \dfrac{3(4 - a)}{6 - a}＜0 \end{cases}$，
由$\dfrac{4}{6 - a}＞0$得$6 - a＞0$，即$a＜6$。
由$\dfrac{3(4 - a)}{6 - a}＜0$，因为$6 - a＞0$，所以$4 - a＜0$，即$a＞4$。
所以$4＜a＜6$，又因为$a$是正整数，所以$a=5$。
B
由$3x + 2y = 6$得$2y=6 - 3x$，代入$ax + 4y = 8$，
得$ax + 2(6 - 3x)=8$，
$ax + 12 - 6x=8$，
$(a - 6)x=-4$，
$x=\dfrac{4}{6 - a}$。
将$x=\dfrac{4}{6 - a}$代入$3x + 2y = 6$，
得$3×\dfrac{4}{6 - a}+2y=6$，
$\dfrac{12}{6 - a}+2y=6$，
$2y=6 - \dfrac{12}{6 - a}=\dfrac{6(6 - a)-12}{6 - a}=\dfrac{36 - 6a - 12}{6 - a}=\dfrac{24 - 6a}{6 - a}=\dfrac{6(4 - a)}{6 - a}$，
$y=\dfrac{3(4 - a)}{6 - a}$。
因为$x＞0$，$y＜0$，
所以$\begin{cases}\dfrac{4}{6 - a}＞0 \\ \dfrac{3(4 - a)}{6 - a}＜0 \end{cases}$，
由$\dfrac{4}{6 - a}＞0$得$6 - a＞0$，即$a＜6$。
由$\dfrac{3(4 - a)}{6 - a}＜0$，因为$6 - a＞0$，所以$4 - a＜0$，即$a＞4$。
所以$4＜a＜6$，又因为$a$是正整数，所以$a=5$。
B
5. 已知 $a,b$ 满足 $a - b + 1 = 0,0＜a + b＜1$，则下列判断正确的是(
A.$-\frac{1}{2}＜a＜0$
B.$\frac{1}{2}＜b＜1$
C.$-2＜2a + 4b＜1$
D.$-1＜4a + 2b＜0$
C
)A.$-\frac{1}{2}＜a＜0$
B.$\frac{1}{2}＜b＜1$
C.$-2＜2a + 4b＜1$
D.$-1＜4a + 2b＜0$
答案：5. C
解析：
由$a - b + 1 = 0$得$b = a + 1$。
将$b = a + 1$代入$0 ＜ a + b ＜ 1$，得$0 ＜ a + (a + 1) ＜ 1$，即$0 ＜ 2a + 1 ＜ 1$。
解不等式$0 ＜ 2a + 1$，得$2a ＞ -1$，$a ＞ -\frac{1}{2}$；解不等式$2a + 1 ＜ 1$，得$2a ＜ 0$，$a ＜ 0$，所以$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，A正确。
由$b = a + 1$，$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，得$\frac{1}{2} ＜ b ＜ 1$，B正确。
$2a + 4b = 2a + 4(a + 1) = 6a + 4$，因为$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，所以$6×(-\frac{1}{2}) + 4 ＜ 6a + 4 ＜ 6×0 + 4$，即$1 ＜ 2a + 4b ＜ 4$，C错误。
$4a + 2b = 4a + 2(a + 1) = 6a + 2$，因为$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，所以$6×(-\frac{1}{2}) + 2 ＜ 6a + 2 ＜ 6×0 + 2$，即$-1 ＜ 4a + 2b ＜ 2$，D错误。
1
将$b = a + 1$代入$0 ＜ a + b ＜ 1$，得$0 ＜ a + (a + 1) ＜ 1$，即$0 ＜ 2a + 1 ＜ 1$。
解不等式$0 ＜ 2a + 1$，得$2a ＞ -1$，$a ＞ -\frac{1}{2}$；解不等式$2a + 1 ＜ 1$，得$2a ＜ 0$，$a ＜ 0$，所以$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，A正确。
由$b = a + 1$，$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，得$\frac{1}{2} ＜ b ＜ 1$，B正确。
$2a + 4b = 2a + 4(a + 1) = 6a + 4$，因为$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，所以$6×(-\frac{1}{2}) + 4 ＜ 6a + 4 ＜ 6×0 + 4$，即$1 ＜ 2a + 4b ＜ 4$，C错误。
$4a + 2b = 4a + 2(a + 1) = 6a + 2$，因为$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，所以$6×(-\frac{1}{2}) + 2 ＜ 6a + 2 ＜ 6×0 + 2$，即$-1 ＜ 4a + 2b ＜ 2$，D错误。
1
6. (2024·新北区期末)关于 $x$ 的不等式 $x - m≤ - 1$ 的解集如图所示，则 $m$ 的值是
2
.答案：6. 2
解析：
解：解不等式$x - m ≤ -1$，得$x ≤ m - 1$。
由数轴可知，不等式的解集为$x ≤ 1$，所以$m - 1 = 1$，解得$m = 2$。
2
由数轴可知，不等式的解集为$x ≤ 1$，所以$m - 1 = 1$，解得$m = 2$。
2
7. (2024·吴江区期末)已知关于 $x$ 的方程 $3x + 2(3a + 1) = 6x + a$ 的解为非负数，则 $a$ 的取值范围为
$ a≥ -\frac{2}{5} $
.答案：7. $ a≥ -\frac{2}{5} $
解析：
解：$3x + 2(3a + 1) = 6x + a$
$3x + 6a + 2 = 6x + a$
$3x - 6x = a - 6a - 2$
$-3x = -5a - 2$
$x = \frac{5a + 2}{3}$
因为方程的解为非负数，所以$x ≥ 0$，即$\frac{5a + 2}{3} ≥ 0$
$5a + 2 ≥ 0$
$5a ≥ -2$
$a ≥ -\frac{2}{5}$
$a ≥ -\frac{2}{5}$
$3x + 6a + 2 = 6x + a$
$3x - 6x = a - 6a - 2$
$-3x = -5a - 2$
$x = \frac{5a + 2}{3}$
因为方程的解为非负数，所以$x ≥ 0$，即$\frac{5a + 2}{3} ≥ 0$
$5a + 2 ≥ 0$
$5a ≥ -2$
$a ≥ -\frac{2}{5}$
$a ≥ -\frac{2}{5}$
8. (2024·泰兴期末)对有理数 $x,y$ 定义运算：$x☆y = ax + by$，其中 $a,b$ 是常数. 如果 $2☆(-1) = - 4,3☆2＞1$，那么 $b$ 的取值范围是
$ b＞2 $
.答案：8. $ b＞2 $
解析：
由题意得：
$\begin{cases}2a + b(-1) = -4 \\3a + 2b ＞ 1\end{cases}$
由第一个方程得：$2a - b = -4$，即$a = \frac{b - 4}{2}$。
将$a = \frac{b - 4}{2}$代入第二个不等式：
$3×\frac{b - 4}{2} + 2b ＞ 1$
$\frac{3(b - 4)}{2} + 2b ＞ 1$
两边同乘2：$3(b - 4) + 4b ＞ 2$
$3b - 12 + 4b ＞ 2$
$7b ＞ 14$
$b ＞ 2$
$b ＞ 2$
$\begin{cases}2a + b(-1) = -4 \\3a + 2b ＞ 1\end{cases}$
由第一个方程得：$2a - b = -4$，即$a = \frac{b - 4}{2}$。
将$a = \frac{b - 4}{2}$代入第二个不等式：
$3×\frac{b - 4}{2} + 2b ＞ 1$
$\frac{3(b - 4)}{2} + 2b ＞ 1$
两边同乘2：$3(b - 4) + 4b ＞ 2$
$3b - 12 + 4b ＞ 2$
$7b ＞ 14$
$b ＞ 2$
$b ＞ 2$
9. (2024·宿豫区期末)若关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - y = 4,\\x - 2y = - 3m + 2\end{cases}$ 的解满足 $x - y＞0$，那么整数 $m$ 的最大值是 ______ .
答案：9. 1
解析：
解：$\begin{cases}2x - y = 4,①\\x - 2y = - 3m + 2,②\end{cases}$
①+②得：$3x - 3y = 6 - 3m$，即$x - y = 2 - m$。
因为$x - y＞0$，所以$2 - m＞0$，解得$m＜2$。
则整数$m$的最大值是$1$。
1
①+②得：$3x - 3y = 6 - 3m$，即$x - y = 2 - m$。
因为$x - y＞0$，所以$2 - m＞0$，解得$m＜2$。
则整数$m$的最大值是$1$。
1
10. (2025·钟吾初中期末)不等式组 $\begin{cases}2(x - 1)≤ 3x - 3,\frac{x + 2}{2}＜\frac{x + 3}{3}+1\end{cases}$ 的整数解的和为 ______ .
答案：10. 15
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $2(x - 1) ≤ 3x - 3$：
$ 2x - 2 ≤ 3x - 3 \implies -2 + 3 ≤ 3x - 2x \implies x ≥ 1 $
2. 解不等式 $\frac{x + 2}{2} ＜ \frac{x + 3}{3} + 1$：
$ 3(x + 2) ＜ 2(x + 3) + 6 \implies 3x + 6 ＜ 2x + 6 + 6 \implies 3x - 2x ＜ 12 - 6 \implies x ＜ 6 $
不等式组的解集为 $1 ≤ x ＜ 6$，整数解为 $1, 2, 3, 4, 5$。整数解的和为 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$。
15
1. 解不等式 $2(x - 1) ≤ 3x - 3$：
$ 2x - 2 ≤ 3x - 3 \implies -2 + 3 ≤ 3x - 2x \implies x ≥ 1 $
2. 解不等式 $\frac{x + 2}{2} ＜ \frac{x + 3}{3} + 1$：
$ 3(x + 2) ＜ 2(x + 3) + 6 \implies 3x + 6 ＜ 2x + 6 + 6 \implies 3x - 2x ＜ 12 - 6 \implies x ＜ 6 $
不等式组的解集为 $1 ≤ x ＜ 6$，整数解为 $1, 2, 3, 4, 5$。整数解的和为 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$。
15