解不等式组：
1. 解$y - 2 ≤ \dfrac{y - 2}{2}$，两边同乘2得$2(y - 2) ≤ y - 2$，化简得$2y - 4 ≤ y - 2$，移项得$y ≤ 2$。
2. 解$3y + 1 - m ≥ 0$，移项得$3y ≥ m - 1$，即$y ≥ \dfrac{m - 1}{3}$。
因为不等式组有解，所以$\dfrac{m - 1}{3} ≤ 2$，解得$m - 1 ≤ 6$，$m ≤ 7$。
满足条件的整数$m$的最大值为7。
B

解不等式组：
1. 解不等式 $x + a ≥ 0$，得 $x ≥ -a$；
2. 解不等式 $1 - 2x ＞ x - 2$，移项得$-2x - x ＞ -2 - 1$，即$-3x ＞ -3$，两边同时除以$-3$，不等号变向，得$x ＜ 1$。
因为不等式组有解，所以$-a ＜ 1$，解得$a ＞ -1$。
$a ＞ -1$

解不等式组：
$\begin{cases}a - 2 ＜ x \\frac{x + 1}{2} ≤ 1\end{cases}$
解第二个不等式：
$\frac{x + 1}{2} ≤ 1 \implies x + 1 ≤ 2 \implies x ≤ 1$
第一个不等式为 $x ＞ a - 2$，要使不等式组无解，则 $a - 2 ≥ 1$，解得 $a ≥ 3$。
A

解：解方程$\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}a = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}a$，
$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{4}a$，
$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}a$，
$x=1+\dfrac{1}{2}a$。
因为方程的解为非负整数，所以$1+\dfrac{1}{2}a≥0$且$1+\dfrac{1}{2}a$为整数，
$\dfrac{1}{2}a≥ -1$，$a≥ -2$，且$a=2k - 2$（$k$为非负整数）。
解不等式组$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}(x - a) ＞ 0 \\x - 1 ≥ \dfrac{2x + 1}{3}\end{cases}$，
解$-\dfrac{1}{2}(x - a) ＞ 0$得$x - a ＜ 0$，$x ＜ a$；
解$x - 1 ≥ \dfrac{2x + 1}{3}$得$3(x - 1)≥ 2x + 1$，$3x - 3≥ 2x + 1$，$x≥ 4$。
因为不等式组无解，所以$a≤ 4$。
综上，$a≥ -2$且$a≤ 4$，$a=2k - 2$（$k$为非负整数），
则$a$的值为$0$，$2$，$4$。
所有满足条件的$a$的值之和是$0 + 2 + 4=6$。
答案：B

解不等式组$2 ≤ 3x - 7 ＜ b$，
解$2 ≤ 3x - 7$，得$3x ≥ 9$，$x ≥ 3$；
解$3x - 7 ＜ b$，得$3x ＜ b + 7$，$x ＜ \frac{b + 7}{3}$。
所以不等式组的解集为$3 ≤ x ＜ \frac{b + 7}{3}$。
因为不等式组只有三个整数解，即$3$，$4$，$5$，
所以$5 ＜ \frac{b + 7}{3} ≤ 6$，
解得$15 ＜ b + 7 ≤ 18$，$8 ＜ b ≤ 11$。
答案：B

解不等式组：
1. 解$1 - 2x ＜ 6$，得$-2x ＜ 5$，$x ＞ -\frac{5}{2}$
2. 解$3x + a ≤ 4$，得$3x ≤ 4 - a$，$x ≤ \frac{4 - a}{3}$
不等式组的解集为$-\frac{5}{2} ＜ x ≤ \frac{4 - a}{3}$
整数解为$-2$，$-1$
所以$-1 ≤ \frac{4 - a}{3} ＜ 0$
解得$4 ＜ a ≤ 7$
$4 ＜ a ≤ 7$

解：解不等式$x + k ＜ 1$，得$x＜1 - k$。
因为不等式只有3个正整数解，所以正整数解为1，2，3。
则$3＜1 - k≤4$，
解得$-3≤k＜ - 2$。
$-3≤k＜ - 2$

解不等式组：
解不等式$2x - 1 ≤ 5$，得$x ≤ 3$；
解不等式$x - m ＞ 0$，得$x ＞ m$；
所以不等式组的解集为$m ＜ x ≤ 3$。
因为不等式组恰有三个整数解，即$1$，$2$，$3$，所以$0 ≤ m ＜ 1$。
$0 ≤ m ＜ 1$