8. (2024·安徽)已知实数$a,b$满足$a-b+1=0,0＜a+b+1＜1$,则下列判断正确的是(
A.$-\frac {1}{2}＜a＜0$
B.$\frac {1}{2}＜b＜1$
C.$-2＜2a+4b＜1$
D.$-1＜4a+2b＜0$
C
)A.$-\frac {1}{2}＜a＜0$
B.$\frac {1}{2}＜b＜1$
C.$-2＜2a+4b＜1$
D.$-1＜4a+2b＜0$
答案：8. C
解析：
由$a - b + 1 = 0$，得$b = a + 1$。
将$b = a + 1$代入$0 ＜ a + b + 1 ＜ 1$，得$0 ＜ a + (a + 1) + 1 ＜ 1$，即$0 ＜ 2a + 2 ＜ 1$。
解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，则$b = a + 1$，所以$0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$。
对于选项C：$2a + 4b = 2a + 4(a + 1) = 6a + 4$。
因为$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，所以$-6 ＜ 6a ＜ -3$，$-6 + 4 ＜ 6a + 4 ＜ -3 + 4$，即$-2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$。
对于选项D：$4a + 2b = 4a + 2(a + 1) = 6a + 2$。
因为$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，所以$-6 ＜ 6a ＜ -3$，$-6 + 2 ＜ 6a + 2 ＜ -3 + 2$，即$-4 ＜ 4a + 2b ＜ -1$。
综上，正确的是C。
C
将$b = a + 1$代入$0 ＜ a + b + 1 ＜ 1$，得$0 ＜ a + (a + 1) + 1 ＜ 1$，即$0 ＜ 2a + 2 ＜ 1$。
解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，则$b = a + 1$，所以$0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$。
对于选项C：$2a + 4b = 2a + 4(a + 1) = 6a + 4$。
因为$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，所以$-6 ＜ 6a ＜ -3$，$-6 + 4 ＜ 6a + 4 ＜ -3 + 4$，即$-2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$。
对于选项D：$4a + 2b = 4a + 2(a + 1) = 6a + 2$。
因为$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，所以$-6 ＜ 6a ＜ -3$，$-6 + 2 ＜ 6a + 2 ＜ -3 + 2$，即$-4 ＜ 4a + 2b ＜ -1$。
综上，正确的是C。
C
9. 关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l} x-a＞0,\\ 10-3x≥1\end{array} $有且只有$4$个整数解,则$a$的取值范围是 ______ .
答案：9. $-1≤ a＜0$
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}x - a ＞ 0 \\10 - 3x ≥ 1\end{cases}$
解第一个不等式：$x ＞ a$；
解第二个不等式：$-3x ≥ -9$，即$x ≤ 3$。
所以不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 3$。
因为不等式组有且只有4个整数解，整数解为$3, 2, 1, 0$，所以$a$的取值范围是$-1 ≤ a ＜ 0$。
$-1 ≤ a ＜ 0$
$\begin{cases}x - a ＞ 0 \\10 - 3x ≥ 1\end{cases}$
解第一个不等式：$x ＞ a$；
解第二个不等式：$-3x ≥ -9$，即$x ≤ 3$。
所以不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 3$。
因为不等式组有且只有4个整数解，整数解为$3, 2, 1, 0$，所以$a$的取值范围是$-1 ≤ a ＜ 0$。
$-1 ≤ a ＜ 0$
10. 把一些笔记本分给几个学生,如果每人分$3$本,那么余$8$本;如果前面的每个学生分$5$本,那么最后一人就分不到$3$本.则共有学生
6
人.答案：10. 6
解析：
设共有学生$x$人，笔记本总数为$3x + 8$本。
根据题意，得$0 ≤ 3x + 8 - 5(x - 1) ＜ 3$
解不等式：
$0 ≤ 3x + 8 - 5x + 5 ＜ 3$
$0 ≤ -2x + 13 ＜ 3$
$-13 ≤ -2x ＜ -10$
$5 ＜ x ≤ 6.5$
因为$x$为正整数，所以$x = 6$
6
根据题意，得$0 ≤ 3x + 8 - 5(x - 1) ＜ 3$
解不等式：
$0 ≤ 3x + 8 - 5x + 5 ＜ 3$
$0 ≤ -2x + 13 ＜ 3$
$-13 ≤ -2x ＜ -10$
$5 ＜ x ≤ 6.5$
因为$x$为正整数，所以$x = 6$
6
11. 解不等式组:
(1) $\{\begin{array}{l} 5x+2≥3(x-1),\\ 1-\frac {2x+5}{3}＞x-2;\end{array} $
(2) $\{\begin{array}{l} 2(x-1)≥x+1,\\ x-2＞\frac {1}{3}(2x-1);\end{array} $
(3) $\{\begin{array}{l} 3x-(x-2)≥6,\\ x+1＞\frac {4x-1}{3}.\end{array} $
(1) $\{\begin{array}{l} 5x+2≥3(x-1),\\ 1-\frac {2x+5}{3}＞x-2;\end{array} $
(2) $\{\begin{array}{l} 2(x-1)≥x+1,\\ x-2＞\frac {1}{3}(2x-1);\end{array} $
(3) $\{\begin{array}{l} 3x-(x-2)≥6,\\ x+1＞\frac {4x-1}{3}.\end{array} $
答案：11. 解：(1)$\begin{cases}5x + 2≥3(x - 1),①\\1-\dfrac{2x + 5}{3}＞x - 2,②\end{cases}$
解不等式①，得$x≥-\dfrac{5}{2}$．
解不等式②，得$x＜\dfrac{4}{5}$．
所以原不等式组的解集为$-\dfrac{5}{2}≤ x＜\dfrac{4}{5}$．
(2)$\begin{cases}2(x - 1)≥ x + 1,①\\x - 2＞\dfrac{1}{3}(2x - 1),②\end{cases}$
解不等式①，得$x≥3$．
解不等式②，得$x＞5$．
所以原不等式组的解集为$x＞5$．
(3)$\begin{cases}3x-(x - 2)≥6,①\\x + 1＞\dfrac{4x - 1}{3},②\end{cases}$
解不等式①，得$x≥2$．
解不等式②，得$x＜4$．
所以原不等式组的解集为$2≤ x＜4$．
解不等式①，得$x≥-\dfrac{5}{2}$．
解不等式②，得$x＜\dfrac{4}{5}$．
所以原不等式组的解集为$-\dfrac{5}{2}≤ x＜\dfrac{4}{5}$．
(2)$\begin{cases}2(x - 1)≥ x + 1,①\\x - 2＞\dfrac{1}{3}(2x - 1),②\end{cases}$
解不等式①，得$x≥3$．
解不等式②，得$x＞5$．
所以原不等式组的解集为$x＞5$．
(3)$\begin{cases}3x-(x - 2)≥6,①\\x + 1＞\dfrac{4x - 1}{3},②\end{cases}$
解不等式①，得$x≥2$．
解不等式②，得$x＜4$．
所以原不等式组的解集为$2≤ x＜4$．
12. (2024·扬州)解不等式组$\{\begin{array}{l} 2x-6≤0,\\ x＜\frac {4x-1}{2},\end{array} $并求出它的所有整数解的和.
答案：12. 解：$\begin{cases}2x - 6≤0,①\\x＜\dfrac{4x - 1}{2},②\end{cases}$
解不等式①，得$x≤3$．
解不等式②，得$x＞\dfrac{1}{2}$．
所以原不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}＜x≤3$，它的所有整数解的和为$1 + 2 + 3 = 6$．
解不等式①，得$x≤3$．
解不等式②，得$x＞\dfrac{1}{2}$．
所以原不等式组的解集为$\dfrac{1}{2}＜x≤3$，它的所有整数解的和为$1 + 2 + 3 = 6$．
13. 已知关于$x,y$的方程组$\{\begin{array}{l} 2x+y=5a,\\ x-3y=-a+7.\end{array} $
(1) 求这个方程组的解;(用含有字母$a$的代数式表示)
(2) 若这个方程组的解满足$x$为非负数,$y$为负数,求字母$a$的取值范围.
(1) 求这个方程组的解;(用含有字母$a$的代数式表示)
(2) 若这个方程组的解满足$x$为非负数,$y$为负数,求字母$a$的取值范围.
答案：13. 解：(1)$\begin{cases}2x + y = 5a,①\\x - 3y=-a + 7,②\end{cases}$
$①×3 + ②$，得$7x = 14a + 7$，解得$x = 2a + 1$，
将$x = 2a + 1$代入①，得$2(2a + 1)+y = 5a$，
解得$y = a - 2$．所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2a + 1,\\y = a - 2.\end{cases}$
(2)由题意，得$\begin{cases}2a + 1≥0,\\a - 2＜0,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{2}≤ a＜2$．
所以字母$a$的取值范围是$-\dfrac{1}{2}≤ a＜2$．
$①×3 + ②$，得$7x = 14a + 7$，解得$x = 2a + 1$，
将$x = 2a + 1$代入①，得$2(2a + 1)+y = 5a$，
解得$y = a - 2$．所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2a + 1,\\y = a - 2.\end{cases}$
(2)由题意，得$\begin{cases}2a + 1≥0,\\a - 2＜0,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{2}≤ a＜2$．
所以字母$a$的取值范围是$-\dfrac{1}{2}≤ a＜2$．
14. 若关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l} 2x+1＞x+a,①\\ \frac {x}{2}+1≥\frac {5}{2}x-9②\end{array} $所有整数解的和为$14$,则整数$a$的值为 ______ .
答案：14. 2 或$-1$
解析：
解不等式①：$2x + 1 ＞ x + a$，得$x ＞ a - 1$。
解不等式②：$\frac{x}{2} + 1 ≥ \frac{5}{2}x - 9$，两边同乘2得$x + 2 ≥ 5x - 18$，移项得$-4x ≥ -20$，解得$x ≤ 5$。
所以不等式组的解集为$a - 1 ＜ x ≤ 5$。
因为所有整数解的和为14，整数解可能为5,4,3,2或5,4,3,2,0,-1（经检验，5+4+3+2=14，5+4+3+2+0+(-1)=13不符合；5+4+3+2+1=15不符合；若整数解为4,3,2,5，同前；若整数解为2,3,4,5，同前；若整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若整数解为3,4,5,2，同前；若整数解为1,2,3,4,4不符合；若整数解为5,4,3,2，此时$1 ≤ a - 1 ＜ 2$，即$2 ≤ a ＜ 3$，整数$a=2$；若整数解为5,4,3,2,0,-1不成立；若整数解为-1,0,2,3,4,5不成立；若整数解为2,3,4,5，$1 ≤ a - 1 ＜ 2$，$a=2$；若整数解为5,4,3,2，$a=2$；若整数解为-1,0,2,3,4,5不成立；若整数解为0,1,2,3,4,5和为15不符合；若整数解为-2,-1,0,2,3,4,5和为11不符合；若整数解为3,4,5,2，同前；若$a - 1$在-2到-1之间，即$-2 ≤ a - 1 ＜ -1$，$-1 ≤ a ＜ 0$，整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若$a - 1$在-1到0之间，即$-1 ≤ a - 1 ＜ 0$，$0 ≤ a ＜ 1$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，此时$0 ≤ a - 1 ＜ 1$不成立，应为$-1 ≤ a - 1 ＜ 0$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，解得$a - 1$在-1到0之间，$a$为整数则$a=0$不符合；若$a - 1$在-3到-2之间，$-3 ≤ a - 1 ＜ -2$，$-2 ≤ a ＜ -1$，整数解为-2,-1,0,2,3,4,5，和为11不符合；若$a - 1$在1到2之间，$1 ＜ a - 1 ＜ 2$，$2 ＜ a ＜ 3$，整数解为2,3,4,5，和为14，此时$a$为整数则$a=2$；若$a - 1$在-2到-1之间，$-2 ＜ a - 1 ＜ -1$，$-1 ＜ a ＜ 0$，整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若$a - 1 = -1$，$a=0$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，此时$x ＞ -1$，整数解0,2,3,4,5，和为14，所以$a - 1 = -1$，$a=0$不符合；若$a - 1 = 1$，$a=2$，整数解2,3,4,5，和14；若$a - 1 = -2$，$a=-1$，整数解-1,0,2,3,4,5，和13不符合；若$a - 1 = 0$，$a=1$，整数解1,2,3,4,5，和15不符合；综上，$a=2$或$a=-1$（当$a=-1$时，解集$-2 ＜ x ≤ 5$，整数解-1,0,1,2,3,4,5，和为-1+0+1+2+3+4+5=14）。
2 或 -1
解不等式②：$\frac{x}{2} + 1 ≥ \frac{5}{2}x - 9$，两边同乘2得$x + 2 ≥ 5x - 18$，移项得$-4x ≥ -20$，解得$x ≤ 5$。
所以不等式组的解集为$a - 1 ＜ x ≤ 5$。
因为所有整数解的和为14，整数解可能为5,4,3,2或5,4,3,2,0,-1（经检验，5+4+3+2=14，5+4+3+2+0+(-1)=13不符合；5+4+3+2+1=15不符合；若整数解为4,3,2,5，同前；若整数解为2,3,4,5，同前；若整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若整数解为3,4,5,2，同前；若整数解为1,2,3,4,4不符合；若整数解为5,4,3,2，此时$1 ≤ a - 1 ＜ 2$，即$2 ≤ a ＜ 3$，整数$a=2$；若整数解为5,4,3,2,0,-1不成立；若整数解为-1,0,2,3,4,5不成立；若整数解为2,3,4,5，$1 ≤ a - 1 ＜ 2$，$a=2$；若整数解为5,4,3,2，$a=2$；若整数解为-1,0,2,3,4,5不成立；若整数解为0,1,2,3,4,5和为15不符合；若整数解为-2,-1,0,2,3,4,5和为11不符合；若整数解为3,4,5,2，同前；若$a - 1$在-2到-1之间，即$-2 ≤ a - 1 ＜ -1$，$-1 ≤ a ＜ 0$，整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若$a - 1$在-1到0之间，即$-1 ≤ a - 1 ＜ 0$，$0 ≤ a ＜ 1$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，此时$0 ≤ a - 1 ＜ 1$不成立，应为$-1 ≤ a - 1 ＜ 0$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，解得$a - 1$在-1到0之间，$a$为整数则$a=0$不符合；若$a - 1$在-3到-2之间，$-3 ≤ a - 1 ＜ -2$，$-2 ≤ a ＜ -1$，整数解为-2,-1,0,2,3,4,5，和为11不符合；若$a - 1$在1到2之间，$1 ＜ a - 1 ＜ 2$，$2 ＜ a ＜ 3$，整数解为2,3,4,5，和为14，此时$a$为整数则$a=2$；若$a - 1$在-2到-1之间，$-2 ＜ a - 1 ＜ -1$，$-1 ＜ a ＜ 0$，整数解为-1,0,2,3,4,5，和为13不符合；若$a - 1 = -1$，$a=0$，整数解为0,2,3,4,5，和为14，此时$x ＞ -1$，整数解0,2,3,4,5，和为14，所以$a - 1 = -1$，$a=0$不符合；若$a - 1 = 1$，$a=2$，整数解2,3,4,5，和14；若$a - 1 = -2$，$a=-1$，整数解-1,0,2,3,4,5，和13不符合；若$a - 1 = 0$，$a=1$，整数解1,2,3,4,5，和15不符合；综上，$a=2$或$a=-1$（当$a=-1$时，解集$-2 ＜ x ≤ 5$，整数解-1,0,1,2,3,4,5，和为-1+0+1+2+3+4+5=14）。
2 或 -1