9. (2024·宿豫区期末)已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - a ＜ 0,\\x ＞ -\dfrac{3}{2}\end{cases}$ 的解集中至少有 4 个整数解，则整数 $ a $ 的最小值是 ______ .
答案：9. 3
解析：
解不等式组$\begin{cases}x - a ＜ 0 \\x ＞ -\dfrac{3}{2}\end{cases}$，得$-\dfrac{3}{2} ＜ x ＜ a$。
不等式组的整数解为$-1, 0, 1, 2, ···$，至少有4个整数解，即$-1, 0, 1, 2$，所以$a ＞ 2$。
整数$a$的最小值是$3$。
3
不等式组的整数解为$-1, 0, 1, 2, ···$，至少有4个整数解，即$-1, 0, 1, 2$，所以$a ＞ 2$。
整数$a$的最小值是$3$。
3
10. 已知 $ x = 4 $ 是不等式 $ ax - 3a - 1 ＜ 0 $ 的解，$ x = 2 $ 不是不等式 $ ax - 3a - 1 ＜ 0 $ 的解，则 $ a $ 的取值范围是
$ a ≤ - 1 $
.答案：10. $ a ≤ - 1 $
解析：
解：因为$x = 4$是不等式$ax - 3a - 1 ＜ 0$的解，所以将$x = 4$代入不等式得：$4a - 3a - 1 ＜ 0$，即$a - 1 ＜ 0$，解得$a ＜ 1$。
因为$x = 2$不是不等式$ax - 3a - 1 ＜ 0$的解，所以将$x = 2$代入不等式得：$2a - 3a - 1 ≥ 0$，即$-a - 1 ≥ 0$，解得$a ≤ -1$。
综上，$a$的取值范围是$a ≤ -1$。
因为$x = 2$不是不等式$ax - 3a - 1 ＜ 0$的解，所以将$x = 2$代入不等式得：$2a - 3a - 1 ≥ 0$，即$-a - 1 ≥ 0$，解得$a ≤ -1$。
综上，$a$的取值范围是$a ≤ -1$。
11. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + 2y = 3k,\\3x + y = 5 - k\end{cases}$ 的解满足 $ -1 ＜ x + y ＜ 4 $.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，化简：$ |2k + 5| - |k - 3| $.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，化简：$ |2k + 5| - |k - 3| $.
答案：11. 解: (1) 解方程组 $ \{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 k }, \\ { 3 x + y = 5 - k }, \end{array} $ 得 $ \{ \begin{array} { l } { x = 2 - k }, \\ { y = 2 k - 1 }, \end{array} $
所以 $ x + y = k + 1 $.
因为 $ - 1 ＜ x + y ＜ 4 $, 所以 $ - 1 ＜ k + 1 ＜ 4 $, 所以 $ - 2 ＜ k ＜ 3 $.
(2) 因为 $ - 2 ＜ k ＜ 3 $, 所以 $ 2 k + 5 ＞ 0 $, $ k - 3 ＜ 0 $,
所以原式 $ = ( 2 k + 5 ) - ( 3 - k ) = 2 k + 5 - 3 + k = 3 k + 2 $.
所以 $ x + y = k + 1 $.
因为 $ - 1 ＜ x + y ＜ 4 $, 所以 $ - 1 ＜ k + 1 ＜ 4 $, 所以 $ - 2 ＜ k ＜ 3 $.
(2) 因为 $ - 2 ＜ k ＜ 3 $, 所以 $ 2 k + 5 ＞ 0 $, $ k - 3 ＜ 0 $,
所以原式 $ = ( 2 k + 5 ) - ( 3 - k ) = 2 k + 5 - 3 + k = 3 k + 2 $.
12. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}x + y = -7 - m,\\x - y = 3m + 1.\end{cases}$
(1)求方程组的解(用含 $ m $ 的代数式表示)；
(2)若方程组的解满足 $ x $ 为非正数，$ y $ 为负数，求 $ m $ 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当 $ m $ 为何整数时，不等式 $ 2mx + x ＜ 2m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $?
(1)求方程组的解(用含 $ m $ 的代数式表示)；
(2)若方程组的解满足 $ x $ 为非正数，$ y $ 为负数，求 $ m $ 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当 $ m $ 为何整数时，不等式 $ 2mx + x ＜ 2m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $?
答案：12. 解: (1) $ \{ \begin{array} { l } { x + y = - 7 - m }, ① \\ { x - y = 3 m + 1 }, ② \end{array} $
① + ②, 得 $ 2 x = 2 m - 6 $, 解得 $ x = m - 3 $,
① - ②, 得 $ 2 y = - 4 m - 8 $, 解得 $ y = - 2 m - 4 $,
所以原方程组的解为 $ \{ \begin{array} { l } { x = m - 3 }, \\ { y = - 2 m - 4 }. \end{array} $
(2) 因为方程组的解满足 $ x $ 为非正数, $ y $ 为负数,
所以 $ \{ \begin{array} { l } { m - 3 ≤ 0 }, \\ { - 2 m - 4 ＜ 0 }, \end{array} $ 解得 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $,
所以 $ m $ 的取值范围是 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $.
(3) 因为不等式 $ 2 m x + x ＜ 2 m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $,
所以 $ 2 m + 1 ＜ 0 $, 解得 $ m ＜ - \frac { 1 } { 2 } $.
又因为 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $, 所以 $ - 2 ＜ m ＜ - \frac { 1 } { 2 } $.
又因为 $ m $ 是整数, 所以 $ m = - 1 $.
① + ②, 得 $ 2 x = 2 m - 6 $, 解得 $ x = m - 3 $,
① - ②, 得 $ 2 y = - 4 m - 8 $, 解得 $ y = - 2 m - 4 $,
所以原方程组的解为 $ \{ \begin{array} { l } { x = m - 3 }, \\ { y = - 2 m - 4 }. \end{array} $
(2) 因为方程组的解满足 $ x $ 为非正数, $ y $ 为负数,
所以 $ \{ \begin{array} { l } { m - 3 ≤ 0 }, \\ { - 2 m - 4 ＜ 0 }, \end{array} $ 解得 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $,
所以 $ m $ 的取值范围是 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $.
(3) 因为不等式 $ 2 m x + x ＜ 2 m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $,
所以 $ 2 m + 1 ＜ 0 $, 解得 $ m ＜ - \frac { 1 } { 2 } $.
又因为 $ - 2 ＜ m ≤ 3 $, 所以 $ - 2 ＜ m ＜ - \frac { 1 } { 2 } $.
又因为 $ m $ 是整数, 所以 $ m = - 1 $.
13. 我们用 $[a]$ 表示不大于 $ a $ 的最大整数，例如，$[2.5] = 2$，$[3] = 3$，$[-2.5] = -3$；用 $ ＜ a ＞ $ 表示大于 $ a $ 的最小整数，例如，$ ＜ 2.5 ＞ = 3 $，$ ＜ 4 ＞ = 5 $，$ ＜ -1.5 ＞ = -1 $.解答下列问题：
(1) $[-4.5] = $
(2)若 $[x] = 2$，则 $ x $ 的取值范围是
(3)已知 $ x,y $ 满足方程组 $\begin{cases}3[x] + 2 ＜ y ＞ = 3,\\3[x] - ＜ y ＞ = -6,\end{cases}$ 求 $ x,y $ 的取值范围.
(1) $[-4.5] = $
- 5
；$ ＜ 3.5 ＞ = $4
.(2)若 $[x] = 2$，则 $ x $ 的取值范围是
$ 2 ≤ x ＜ 3 $
；若 $ ＜ y ＞ = -1 $，则 $ y $ 的取值范围是$ - 2 ≤ y ＜ - 1 $
.(3)已知 $ x,y $ 满足方程组 $\begin{cases}3[x] + 2 ＜ y ＞ = 3,\\3[x] - ＜ y ＞ = -6,\end{cases}$ 求 $ x,y $ 的取值范围.
答案：13. (1) - 5 4 (2) $ 2 ≤ x ＜ 3 $ $ - 2 ≤ y ＜ - 1 $
(3) 解: 解方程组 $ \{ \begin{array} { l } { 3 [ x ] + 2 ＜ y ＞ = 3 }, \\ { 3 [ x ] - ＜ y ＞ = - 6 }, \end{array} $ 得 $ \{ \begin{array} { l } { [ x ] = - 1 }, \\ { ＜ y ＞ = 3 }. \end{array} $
所以 $ - 1 ≤ x ＜ 0 $, $ 2 ≤ y ＜ 3 $.
(3) 解: 解方程组 $ \{ \begin{array} { l } { 3 [ x ] + 2 ＜ y ＞ = 3 }, \\ { 3 [ x ] - ＜ y ＞ = - 6 }, \end{array} $ 得 $ \{ \begin{array} { l } { [ x ] = - 1 }, \\ { ＜ y ＞ = 3 }. \end{array} $
所以 $ - 1 ≤ x ＜ 0 $, $ 2 ≤ y ＜ 3 $.