7. (2024·凉山) 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放, 点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上, 当 $DF // AB$ 时, $∠ EDB$ 的度数为(
A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
B
)A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案：7. B
解析：
解：由题意知，$∠ CAB=90°$，$∠ C=30°$，$∠ FED=90°$，$∠ F=45°$，
$\therefore ∠ ABC=60°$，$∠ FDE=45°$，
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ FDB=∠ ABC=60°$，
$\because ∠ FDB=∠ FDE+∠ EDB$，
$\therefore ∠ EDB=∠ FDB-∠ FDE=60° - 45° = 15°$。
答案：B
$\therefore ∠ ABC=60°$，$∠ FDE=45°$，
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ FDB=∠ ABC=60°$，
$\because ∠ FDB=∠ FDE+∠ EDB$，
$\therefore ∠ EDB=∠ FDB-∠ FDE=60° - 45° = 15°$。
答案：B
8. (2025·宿城期末) 一副三角尺 $ABC$ 和 $DEF$ 如图所示放置. $∠ C = ∠ F = 90^{\circ}$, 点 $D$ 在边 $AC$ 上. 若 $DE // BC$, 则 $∠ 1$ 的度数为(
A.$75^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$82^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
A
)A.$75^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$82^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
答案：8. A
9. 如图, $∠ 1 = 130^{\circ}$, 则 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$ 的度数为
$ 260^{\circ} $
.答案：9. $ 260° $
解析：
证明：设AC与BD交于点G，CE与DF交于点H。
∵∠1=130°，
∴∠AGB=∠1=130°，∠EHD=∠1=130°（对顶角相等）。
在△AGB中，∠A+∠B=180°-∠AGB=180°-130°=50°。
在△EHD中，∠E+∠D=180°-∠EHD=180°-130°=50°。
设BC与CE交于点M，DF与AF交于点N。
在△BMC中，∠B+∠C=180°-∠BMC；在△FND中，∠F+∠D=180°-∠FND。
∵∠BMC=∠EMG，∠FND=∠HNG，且∠EMG+∠HNG=∠1=130°，
∴∠B+∠C+∠F+∠D=360°-130°=230°。
又
∵∠A+∠B=50°，∠E+∠D=50°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（∠A+∠B）+（∠E+∠D）+（∠C+∠F）=50°+50°+160°=260°。
$260^{\circ}$
∵∠1=130°，
∴∠AGB=∠1=130°，∠EHD=∠1=130°（对顶角相等）。
在△AGB中，∠A+∠B=180°-∠AGB=180°-130°=50°。
在△EHD中，∠E+∠D=180°-∠EHD=180°-130°=50°。
设BC与CE交于点M，DF与AF交于点N。
在△BMC中，∠B+∠C=180°-∠BMC；在△FND中，∠F+∠D=180°-∠FND。
∵∠BMC=∠EMG，∠FND=∠HNG，且∠EMG+∠HNG=∠1=130°，
∴∠B+∠C+∠F+∠D=360°-130°=230°。
又
∵∠A+∠B=50°，∠E+∠D=50°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（∠A+∠B）+（∠E+∠D）+（∠C+∠F）=50°+50°+160°=260°。
$260^{\circ}$
10. 如图, $CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACD$ 的平分线, 且 $CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$.
(1) 若 $∠ B = 30^{\circ}$, $∠ ACB = 40^{\circ}$, 求 $∠ E$ 的度数;
(2) 求证: $∠ BAC = ∠ B + 2 ∠ E$.
(1) 若 $∠ B = 30^{\circ}$, $∠ ACB = 40^{\circ}$, 求 $∠ E$ 的度数;
(2) 求证: $∠ BAC = ∠ B + 2 ∠ E$.
答案：10. (1) 解: 因为 $ ∠ ACB = 40° $，所以 $ ∠ ACD = 180° - 40° = 140° $。因为 $ ∠ B = 30° $，所以 $ ∠ EAC = ∠ B + ∠ ACB = 70° $。因为 $ CE $ 是 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ ACD $ 的平分线，所以 $ ∠ ACE = \frac{1}{2} ∠ ACD = 70° $，所以 $ ∠ E = 180° - ∠ EAC - ∠ ACE = 180° - 70° - 70° = 40° $。
(2) 证明: 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，所以 $ ∠ ACE = ∠ DCE $。因为 $ ∠ DCE = ∠ B + ∠ E $，所以 $ ∠ ACE = ∠ B + ∠ E $。因为 $ ∠ BAC = ∠ ACE + ∠ E $，所以 $ ∠ BAC = ∠ B + ∠ E + ∠ E = ∠ B + 2 ∠ E $。
(2) 证明: 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，所以 $ ∠ ACE = ∠ DCE $。因为 $ ∠ DCE = ∠ B + ∠ E $，所以 $ ∠ ACE = ∠ B + ∠ E $。因为 $ ∠ BAC = ∠ ACE + ∠ E $，所以 $ ∠ BAC = ∠ B + ∠ E + ∠ E = ∠ B + 2 ∠ E $。
11. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90^{\circ}$, $CD$ 是高, $AE$ 是 $△ ABC$ 内部的一条线段, $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$, 交 $CB$ 于点 $E$, 且 $∠ CFE = ∠ CEF$. 求证: $AE$ 平分 $∠ CAB$.
答案：11. 证明: 因为在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ CD $ 是高，
所以 $ ∠ ADF = 90° = ∠ ACB $，
所以 $ ∠ CAE + ∠ AEC = ∠ DAF + ∠ AFD = 90° $。
因为 $ ∠ CFE = ∠ CEF $，$ ∠ CFE = ∠ AFD $，
所以 $ ∠ AEC = ∠ AFD $，所以 $ ∠ CAE = ∠ DAF $，
所以 $ AE $ 平分 $ ∠ CAB $。
所以 $ ∠ ADF = 90° = ∠ ACB $，
所以 $ ∠ CAE + ∠ AEC = ∠ DAF + ∠ AFD = 90° $。
因为 $ ∠ CFE = ∠ CEF $，$ ∠ CFE = ∠ AFD $，
所以 $ ∠ AEC = ∠ AFD $，所以 $ ∠ CAE = ∠ DAF $，
所以 $ AE $ 平分 $ ∠ CAB $。
12. (2025·钟吾初中期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD$ 是角平分线, $E$ 为边 $AB$ 上一点, 连接 $DE$, $∠ EAD = ∠ EDA$, 过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$, 垂足为 $F$.
(1) 说明: $DE // AC$;
(2) 若 $∠ DEF = 40^{\circ}$, $∠ B = 36^{\circ}$, 求 $∠ BAC$ 的度数.
(1) 说明: $DE // AC$;
(2) 若 $∠ DEF = 40^{\circ}$, $∠ B = 36^{\circ}$, 求 $∠ BAC$ 的度数.
答案：12. 解: (1) 因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，所以 $ ∠ EAD = ∠ CAD $。
又因为 $ ∠ EAD = ∠ EDA $，所以 $ ∠ CAD = ∠ EDA $，
所以 $ DE // AC $。
(2) 因为 $ EF ⊥ BC $，所以 $ ∠ EFD = 90° $。
因为 $ ∠ DEF = 40° $，所以 $ ∠ EDF = 180° - 90° - 40° = 50° $。
因为 $ DE // AC $，所以 $ ∠ C = ∠ EDF = 50° $，
所以 $ ∠ BAC = 180° - 36° - 50° = 94° $。
又因为 $ ∠ EAD = ∠ EDA $，所以 $ ∠ CAD = ∠ EDA $，
所以 $ DE // AC $。
(2) 因为 $ EF ⊥ BC $，所以 $ ∠ EFD = 90° $。
因为 $ ∠ DEF = 40° $，所以 $ ∠ EDF = 180° - 90° - 40° = 50° $。
因为 $ DE // AC $，所以 $ ∠ C = ∠ EDF = 50° $，
所以 $ ∠ BAC = 180° - 36° - 50° = 94° $。