1. (2024·云南)一个七边形的内角和等于(
A.$540^{\circ}$
B.$900^{\circ}$
C.$980^{\circ}$
D.$1080^{\circ}$
B
)A.$540^{\circ}$
B.$900^{\circ}$
C.$980^{\circ}$
D.$1080^{\circ}$
答案：1. B
解析：
n边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，七边形中$n = 7$，则内角和为$(7 - 2)×180^{\circ}=5×180^{\circ}=900^{\circ}$。
B
B
2. (2024·乐山)下列多边形中，内角和最小的是(
]
A
)]
答案：2. A
解析：
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数，$n≥3$且$n$为整数）。
A是三角形，$n=3$，内角和为$(3 - 2)×180^{\circ}=180^{\circ}$；
B是四边形，$n=4$，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$；
C是五边形，$n=5$，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$；
D是六边形，$n=6$，内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
比较可得$180^{\circ}$最小，所以内角和最小的是A。
A
A是三角形，$n=3$，内角和为$(3 - 2)×180^{\circ}=180^{\circ}$；
B是四边形，$n=4$，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$；
C是五边形，$n=5$，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$；
D是六边形，$n=6$，内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
比较可得$180^{\circ}$最小，所以内角和最小的是A。
A
3. (2024·资阳)一个正多边形的每个外角度数都等于$60^{\circ}$，则这个多边形的边数为(
A.4
B.5
C.6
D.8
C
)A.4
B.5
C.6
D.8
答案：3. C
解析：
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，正多边形每个外角度数为$60^{\circ}$，所以边数为$360^{\circ}÷60^{\circ}=6$。
C
C
4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
D
)A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案：4. D
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，任意多边形的外角和为$360^{\circ}$。
由题意得：$(n - 2)×180^{\circ}=2×360^{\circ}$
解得：$n - 2 = 4$，$n = 6$
这个多边形是六边形。
D
多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，任意多边形的外角和为$360^{\circ}$。
由题意得：$(n - 2)×180^{\circ}=2×360^{\circ}$
解得：$n - 2 = 4$，$n = 6$
这个多边形是六边形。
D
5. (1)证明：三角形的外角和等于$360^{\circ}$；
(2)归纳：$n$边形的外角和等于
(2)归纳：$n$边形的外角和等于
360°
.答案：
5. (1)解:已知:如答图,∠DAB,∠EBC,∠FCA是△ABC的三个外角.
求证:∠DAB+∠EBC+∠FCA=360°.
证明:因为∠DAB+∠BAC=∠EBC+∠ABC=∠FCA+∠ACB=180°,
所以∠DAB+∠BAC+∠EBC+∠ABC+∠FCA+∠ACB=180°×3=540°.
因为∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°,
所以∠DAB+∠EBC+∠FCA=540°−(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=360°.
(2)360°
5. (1)解:已知:如答图,∠DAB,∠EBC,∠FCA是△ABC的三个外角.
求证:∠DAB+∠EBC+∠FCA=360°.
证明:因为∠DAB+∠BAC=∠EBC+∠ABC=∠FCA+∠ACB=180°,
所以∠DAB+∠BAC+∠EBC+∠ABC+∠FCA+∠ACB=180°×3=540°.
因为∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°,
所以∠DAB+∠EBC+∠FCA=540°−(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=360°.
(2)360°
6. (2025·自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则$α+β=$(
A.$140^{\circ}$
B.$150^{\circ}$
C.$160^{\circ}$
D.$170^{\circ}$
B
)A.$140^{\circ}$
B.$150^{\circ}$
C.$160^{\circ}$
D.$170^{\circ}$
答案：6. B
解析：
解：正六边形内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，正方形内角为$90°$。设两图形相交形成的中间角为$θ$，由周角定义得$120° + 90° + α + β + θ = 360°$，又$θ = 180°$（平角），故$α + β = 360° - 120° - 90° - 180° + 180° = 150°$。
B
B
7. 如图，边长相等的正五边形和正$n$边形($n＞5$)拼接在一起，则$∠ ACB$的度数可能是(
A.$54^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$18^{\circ}$
C
)A.$54^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$18^{\circ}$
答案：7. C
解析：
解：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ CAD=108°$。
正$n$边形每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，即$∠ BAD=\frac{(n-2)×180°}{n}$。
$∠ BAC=∠ BAD - ∠ CAD=\frac{(n-2)×180°}{n}-108°=180°-\frac{360°}{n}-108°=72°-\frac{360°}{n}$。
因为$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ACB=\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180°-(72°-\frac{360°}{n})}{2}=\frac{108°+\frac{360°}{n}}{2}=54°+\frac{180°}{n}$。
$n＞5$且为整数，$n=6$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{6}=84°$；$n=10$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{10}=72°$；$n=15$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{15}=66°$；$n=30$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{30}=60°$；$n=45$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{45}=58°$；$n=60$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{60}=57°$；$n=90$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{90}=56°$；$n=180$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{180}=55°$；$n=360$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{360}=54.5°$；当$n$无限大时，$∠ ACB$趋近于$54°$，无选项。
重新分析：$∠ BAC=360° - ∠ BAD - ∠ CAD=360° - \frac{(n-2)×180°}{n}-108°=360° - (180°-\frac{360°}{n}) - 108°=72°+\frac{360°}{n}$。
$∠ ACB=\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180° - (72°+\frac{360°}{n})}{2}=\frac{108° - \frac{360°}{n}}{2}=54° - \frac{180°}{n}$。
$n＞5$，$n=6$时，$∠ ACB=54° - 30°=24°$；$n=10$时，$∠ ACB=54° - 18°=36°$；$n=12$时，$∠ ACB=54° - 15°=39°$；$n=15$时，$∠ ACB=54° - 12°=42°$；$n=18$时，$∠ ACB=54° - 10°=44°$；$n=30$时，$∠ ACB=54° - 6°=48°$；$n=45$时，$∠ ACB=54° - 4°=50°$；$n=60$时，$∠ ACB=54° - 3°=51°$；$n=90$时，$∠ ACB=54° - 2°=52°$；$n=180$时，$∠ ACB=54° - 1°=53°$；当$n$无限大时，$∠ ACB$趋近于$54°$。
综上，$∠ ACB$的度数可能是$24°$。
答案：C
正$n$边形每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，即$∠ BAD=\frac{(n-2)×180°}{n}$。
$∠ BAC=∠ BAD - ∠ CAD=\frac{(n-2)×180°}{n}-108°=180°-\frac{360°}{n}-108°=72°-\frac{360°}{n}$。
因为$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ACB=\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180°-(72°-\frac{360°}{n})}{2}=\frac{108°+\frac{360°}{n}}{2}=54°+\frac{180°}{n}$。
$n＞5$且为整数，$n=6$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{6}=84°$；$n=10$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{10}=72°$；$n=15$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{15}=66°$；$n=30$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{30}=60°$；$n=45$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{45}=58°$；$n=60$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{60}=57°$；$n=90$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{90}=56°$；$n=180$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{180}=55°$；$n=360$时，$∠ ACB=54°+\frac{180°}{360}=54.5°$；当$n$无限大时，$∠ ACB$趋近于$54°$，无选项。
重新分析：$∠ BAC=360° - ∠ BAD - ∠ CAD=360° - \frac{(n-2)×180°}{n}-108°=360° - (180°-\frac{360°}{n}) - 108°=72°+\frac{360°}{n}$。
$∠ ACB=\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180° - (72°+\frac{360°}{n})}{2}=\frac{108° - \frac{360°}{n}}{2}=54° - \frac{180°}{n}$。
$n＞5$，$n=6$时，$∠ ACB=54° - 30°=24°$；$n=10$时，$∠ ACB=54° - 18°=36°$；$n=12$时，$∠ ACB=54° - 15°=39°$；$n=15$时，$∠ ACB=54° - 12°=42°$；$n=18$时，$∠ ACB=54° - 10°=44°$；$n=30$时，$∠ ACB=54° - 6°=48°$；$n=45$时，$∠ ACB=54° - 4°=50°$；$n=60$时，$∠ ACB=54° - 3°=51°$；$n=90$时，$∠ ACB=54° - 2°=52°$；$n=180$时，$∠ ACB=54° - 1°=53°$；当$n$无限大时，$∠ ACB$趋近于$54°$。
综上，$∠ ACB$的度数可能是$24°$。
答案：C