10.(16 分)如图，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $. 求证：$ ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D $. 请补全下列推理过程.
证明：$ \because ∠ A + ∠ B + ∠ 1 = 180° $(
$ \therefore ∠ A + ∠ B = 180° - ∠ $
同理可得 $ ∠ C + ∠ D = 180° - ∠ $
又 $ \because ∠ 1 = ∠ 2 $(
$ \therefore ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D $(等量代换).
证明：$ \because ∠ A + ∠ B + ∠ 1 = 180° $(
三角形内角和等于 180°
)，$ \therefore ∠ A + ∠ B = 180° - ∠ $
1
(等式的性质).同理可得 $ ∠ C + ∠ D = 180° - ∠ $
2
.又 $ \because ∠ 1 = ∠ 2 $(
对顶角相等
)，$ \therefore ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D $(等量代换).
答案：10. 三角形内角和等于 180° 1 2 对顶角相等
解析：
证明：$\because ∠ A + ∠ B + ∠ 1 = 180°$（三角形内角和等于$180°$），
$\therefore ∠ A + ∠ B = 180° - ∠ 1$（等式的性质）.
同理可得 $∠ C + ∠ D = 180° - ∠ 2$.
又 $\because ∠ 1 = ∠ 2$（对顶角相等），
$\therefore ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$（等量代换）.
$\therefore ∠ A + ∠ B = 180° - ∠ 1$（等式的性质）.
同理可得 $∠ C + ∠ D = 180° - ∠ 2$.
又 $\because ∠ 1 = ∠ 2$（对顶角相等），
$\therefore ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$（等量代换）.
11.（15 分）写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的平分线所夹的锐角是 $ 45° $”的逆命题，并证明这个命题是真命题.
答案：
11. 解:逆命题:如果一个三角形的两个锐角的平分线所夹的锐角是 45°,那么这个三角形是直角三角形.
已知:如答图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E,AD 平分∠CAB,交 BC 于点 D,BE 与 AD 相交于点 O,且∠EOA=45°.
求证:△ABC 是直角三角形.
证明:因为 BE 平分∠ABC,AD 平分∠CAB,
所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,
所以∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA),
所以 180°−∠AOB=$\frac{1}{2}$(180°−∠C),
所以∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C.
又因为∠EOA=45°,
所以∠AOB=180°−∠EOA=180°−45°=135°,
所以 90°+$\frac{1}{2}$∠C=135°,
所以∠C=90°,所以△ABC 是直角三角形.
11. 解:逆命题:如果一个三角形的两个锐角的平分线所夹的锐角是 45°,那么这个三角形是直角三角形.
已知:如答图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E,AD 平分∠CAB,交 BC 于点 D,BE 与 AD 相交于点 O,且∠EOA=45°.
求证:△ABC 是直角三角形.
证明:因为 BE 平分∠ABC,AD 平分∠CAB,
所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA,
所以∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA),
所以 180°−∠AOB=$\frac{1}{2}$(180°−∠C),
所以∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C.
又因为∠EOA=45°,
所以∠AOB=180°−∠EOA=180°−45°=135°,
所以 90°+$\frac{1}{2}$∠C=135°,
所以∠C=90°,所以△ABC 是直角三角形.
12.(20 分)(2025·宿城期中)在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ BAD $ 的平分线交边 $ BC $ 于点 $ E $，$ ∠ ADC $ 的平分线交直线 $ AE $ 于点 $ O $.
(1)当点 $ O $ 在四边形 $ ABCD $ 的内部时.
①如图①，若 $ AD // BC $，$ ∠ B = 40° $，$ ∠ C = 70° $，则 $ ∠ DOE = $
②如图②，试探索 $ ∠ B $，$ ∠ C $ 和 $ ∠ DOE $ 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，当点 $ O $ 在四边形 $ ABCD $ 的外部时，请直接写出 $ ∠ B $，$ ∠ C $ 和 $ ∠ DOE $ 之间的数量关系.
(1)当点 $ O $ 在四边形 $ ABCD $ 的内部时.
①如图①，若 $ AD // BC $，$ ∠ B = 40° $，$ ∠ C = 70° $，则 $ ∠ DOE = $
125
$ ° $；②如图②，试探索 $ ∠ B $，$ ∠ C $ 和 $ ∠ DOE $ 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，当点 $ O $ 在四边形 $ ABCD $ 的外部时，请直接写出 $ ∠ B $，$ ∠ C $ 和 $ ∠ DOE $ 之间的数量关系.
答案：12. (1)①125
②解:∠B+∠C+2∠DOE=360°,理由如下:
因为 AE 平分∠BAD,DO 平分∠ADC,
所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC.
因为∠DOE=∠OAD+∠ADO,
所以∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠BAD+∠ADC),
所以∠BAD+∠ADC=2∠DOE.
因为∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.
所以∠B+∠C+2∠DOE=360°.
(2)解:∠B+∠C=2∠DOE.
②解:∠B+∠C+2∠DOE=360°,理由如下:
因为 AE 平分∠BAD,DO 平分∠ADC,
所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC.
因为∠DOE=∠OAD+∠ADO,
所以∠DOE=$\frac{1}{2}$(∠BAD+∠ADC),
所以∠BAD+∠ADC=2∠DOE.
因为∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.
所以∠B+∠C+2∠DOE=360°.
(2)解:∠B+∠C=2∠DOE.