1. 下列计算正确的是(
A. $(a^{2})^{3}=a^{5}$
B. $a^{2}+a^{2}=a^{4}$
C. $a^{5}÷ a^{3}=a^{2}$
D. $a^{3}· a^{4}=a^{12}$
C
)A. $(a^{2})^{3}=a^{5}$
B. $a^{2}+a^{2}=a^{4}$
C. $a^{5}÷ a^{3}=a^{2}$
D. $a^{3}· a^{4}=a^{12}$
答案：1. C
2. (2025·姑苏区期中)苏绣以细腻精美的刺绣技艺闻名，其所用最细丝线半径约为 $0.0000005\ \mathrm{m}$. 数据 $0.0000005$ 用科学记数法表示为(
A.$0.5× 10^{6}$
B.$5× 10^{-6}$
C.$5× 10^{-7}$
D.$0.5× 10^{-7}$
C
)A.$0.5× 10^{6}$
B.$5× 10^{-6}$
C.$5× 10^{-7}$
D.$0.5× 10^{-7}$
答案：2. C
3. 计算 $|-5|+2^{0}-(-\dfrac {1}{2})^{-3}$ 的结果是(
A.$-2$
B.$13$
C.$14$
D.$-3$
C
)A.$-2$
B.$13$
C.$14$
D.$-3$
答案：3. C
解析：
$|-5|+2^{0}-(-\dfrac{1}{2})^{-3}=5 + 1 - (-8)=5 + 1 + 8=14$，结果是14，选C。
4. 观察等式：$2+2^{2}=2^{3}-2$；$2+2^{2}+2^{3}=2^{4}-2$；$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2^{5}-2······$已知按一定规律排列的一组数：$2^{45}$，$2^{46}$，$2^{47}$，$···$，$2^{89}$，$2^{90}$. 若 $2^{45}=m$，用含 $m$ 的式子表示这组数的和是(
A.$2m^{2}-2m - 2$
B.$2m^{2}-2m$
C.$2m^{2}+m$
D.$2m^{2}-m$
D
)A.$2m^{2}-2m - 2$
B.$2m^{2}-2m$
C.$2m^{2}+m$
D.$2m^{2}-m$
答案：4. D
解析：
由题意得，$2+2^{2}+2^{3}+···+2^{n}=2^{n+1}-2$。
这组数的和为$2^{45}+2^{46}+···+2^{90}=(2+2^{2}+···+2^{90})-(2+2^{2}+···+2^{44})$。
因为$2+2^{2}+···+2^{90}=2^{91}-2$，$2+2^{2}+···+2^{44}=2^{45}-2$，所以这组数的和为$2^{91}-2-(2^{45}-2)=2^{91}-2^{45}$。
已知$2^{45}=m$，则$2^{91}=2^{45+46}=2^{45}×2^{46}=m×2×2^{45}=2m^{2}$。
所以这组数的和为$2m^{2}-m$。
D
这组数的和为$2^{45}+2^{46}+···+2^{90}=(2+2^{2}+···+2^{90})-(2+2^{2}+···+2^{44})$。
因为$2+2^{2}+···+2^{90}=2^{91}-2$，$2+2^{2}+···+2^{44}=2^{45}-2$，所以这组数的和为$2^{91}-2-(2^{45}-2)=2^{91}-2^{45}$。
已知$2^{45}=m$，则$2^{91}=2^{45+46}=2^{45}×2^{46}=m×2×2^{45}=2m^{2}$。
所以这组数的和为$2m^{2}-m$。
D
5. (2024·江阴期末)已知 $a$，$b$，$c$ 为正整数，且满足 $2^{a}× 3^{b}× 4^{c}=384$，则 $a + b + c$ 的值不可能是(
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
D
)A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案：5. D
解析：
$2^{a} × 3^{b} × 4^{c} = 2^{a + 2c} × 3^{b} = 384 = 2^{7} × 3^{1}$，则$\begin{cases}a + 2c = 7 \\ b = 1\end{cases}$。
$a$，$c$为正整数，可能情况：
$c = 1$，$a = 5$，$a + b + c = 5 + 1 + 1 = 7$；
$c = 2$，$a = 3$，$a + b + c = 3 + 1 + 2 = 6$；
$c = 3$，$a = 1$，$a + b + c = 1 + 1 + 3 = 5$。
$a + b + c$的值可能为5，6，7，不可能是8。
D
$a$，$c$为正整数，可能情况：
$c = 1$，$a = 5$，$a + b + c = 5 + 1 + 1 = 7$；
$c = 2$，$a = 3$，$a + b + c = 3 + 1 + 2 = 6$；
$c = 3$，$a = 1$，$a + b + c = 1 + 1 + 3 = 5$。
$a + b + c$的值可能为5，6，7，不可能是8。
D
二、填空题
6. (2025·宿豫区期中)计算：$1.5^{2025}× (\dfrac {2}{3})^{2024}=$
6. (2025·宿豫区期中)计算：$1.5^{2025}× (\dfrac {2}{3})^{2024}=$
1.5
.答案：6. 1.5
解析：
$1.5^{2025} × (\dfrac{2}{3})^{2024}$
$=1.5 × 1.5^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2024}$
$=1.5 × (1.5 × \dfrac{2}{3})^{2024}$
$=1.5 × (1)^{2024}$
$=1.5 × 1$
$=1.5$
$=1.5 × 1.5^{2024} × (\dfrac{2}{3})^{2024}$
$=1.5 × (1.5 × \dfrac{2}{3})^{2024}$
$=1.5 × (1)^{2024}$
$=1.5 × 1$
$=1.5$
7. (2025·宿豫区期末)已知 $x^{a}=4$，$x^{b}=3$，则 $x^{a - 2b}=$
$\frac{4}{9}$
.答案：7. $\frac{4}{9}$
解析：
$x^{a-2b}=\frac{x^{a}}{x^{2b}}=\frac{x^{a}}{(x^{b})^{2}}=\frac{4}{3^{2}}=\frac{4}{9}$
8. 计算：$(-\dfrac {1}{2})^{-2}-(π - 1)^{0}-|-3|=$
0
.答案：8. 0
解析：
$(-\dfrac{1}{2})^{-2}-(π - 1)^{0}-|-3|$
$=(-2)^{2}-1 - 3$
$=4 - 1 - 3$
$=0$
$=(-2)^{2}-1 - 3$
$=4 - 1 - 3$
$=0$
9. 若 $(x - 2)^{x + 1}=1$，则 $x$ 的值为
$-1,1,3$
.答案：9. $-1,1,3$
解析：
分三种情况讨论：
1. 底数为1时，$x-2=1$，解得$x=3$，此时指数$x+1=4$，$(1)^4=1$，成立；
2. 底数为$-1$，指数为偶数时，$x-2=-1$，解得$x=1$，指数$x+1=2$，$(-1)^2=1$，成立；
3. 指数为0，底数不为0时，$x+1=0$，解得$x=-1$，此时底数$x-2=-3≠0$，$(-3)^0=1$，成立。
综上，$x$的值为$-1,1,3$。
1. 底数为1时，$x-2=1$，解得$x=3$，此时指数$x+1=4$，$(1)^4=1$，成立；
2. 底数为$-1$，指数为偶数时，$x-2=-1$，解得$x=1$，指数$x+1=2$，$(-1)^2=1$，成立；
3. 指数为0，底数不为0时，$x+1=0$，解得$x=-1$，此时底数$x-2=-3≠0$，$(-3)^0=1$，成立。
综上，$x$的值为$-1,1,3$。
10. (2024·玄武区期末)已知 $5^{a}=4$，$5^{b}=6$，$5^{c}=9$，则 $a$，$b$，$c$ 之间满足的等量关系是
$a + c = 2b$
.答案：10. $a + c = 2b$
解析：
因为$5^{a}=4$，$5^{b}=6$，$5^{c}=9$，所以$5^{a}×5^{c}=4×9=36$，$(5^{b})^{2}=6^{2}=36$，即$5^{a+c}=5^{2b}$，所以$a + c = 2b$。
11. 计算：
(1) $-2^{4}+(3 - π)^{0}+(\dfrac {1}{2})^{-3}+(-1)^{2026}$；
(2) $(-3a^{2})^{3}· 2a^{4}÷ a^{8}$；
(3) $(\dfrac {1}{2})^{-2}÷ (4^{3}× 8^{0})$；
(4) $(-2)^{3}+6× 2^{-1}-(-3.5)^{0}$；
(5) $(a^{2})^{3}· (a^{2})^{4}÷ (-a^{2})^{5}-(-2a)^{4}$；
(6) $(-2x^{2})^{3}+(-3x^{3})^{2}+(x^{2})^{2}· x^{2}$.
(1) $-2^{4}+(3 - π)^{0}+(\dfrac {1}{2})^{-3}+(-1)^{2026}$；
(2) $(-3a^{2})^{3}· 2a^{4}÷ a^{8}$；
(3) $(\dfrac {1}{2})^{-2}÷ (4^{3}× 8^{0})$；
(4) $(-2)^{3}+6× 2^{-1}-(-3.5)^{0}$；
(5) $(a^{2})^{3}· (a^{2})^{4}÷ (-a^{2})^{5}-(-2a)^{4}$；
(6) $(-2x^{2})^{3}+(-3x^{3})^{2}+(x^{2})^{2}· x^{2}$.
答案：11. 解: (1) 原式 $= -16 + 1 + 8 + 1 = -6$.
(2) 原式 $= -27a^{6} · 2a^{4} ÷ a^{8} = -54a^{6 + 4 - 8} = -54a^{2}$.
(3) 原式 $= 4 ÷ (64 × 1) = \frac{1}{16}$.
(4) 原式 $= -8 + 3 - 1 = -6$.
(5) 原式 $= a^{6} · a^{8} ÷ (-a^{10}) - 16a^{4} = -a^{4} - 16a^{4} = -17a^{4}$.
(6) 原式 $= -8x^{6} + 9x^{6} + x^{6} = 2x^{6}$.
(2) 原式 $= -27a^{6} · 2a^{4} ÷ a^{8} = -54a^{6 + 4 - 8} = -54a^{2}$.
(3) 原式 $= 4 ÷ (64 × 1) = \frac{1}{16}$.
(4) 原式 $= -8 + 3 - 1 = -6$.
(5) 原式 $= a^{6} · a^{8} ÷ (-a^{10}) - 16a^{4} = -a^{4} - 16a^{4} = -17a^{4}$.
(6) 原式 $= -8x^{6} + 9x^{6} + x^{6} = 2x^{6}$.