12. 已知 $2^{2}× 16^{m}× 8^{2m}=4^{21}$，求 $(-m^{2})^{3}÷ (m^{3}· m^{2})+(-2m^{3})^{2}· m^{-5}$ 的值.
答案：12. 解: 因为 $2^{2} × 16^{m} × 8^{2m} = 4^{21}$,
所以 $4 × 4^{2m} × 4^{3m} = 4^{21}$, 即 $4^{5m + 1} = 4^{21}$,
所以 $5m + 1 = 21$, 所以 $m = 4$,
所以原式 $= -m^{6} ÷ m^{5} + 4m^{6} · m^{-5} = -m + 4m = 3m = 12$.
所以 $4 × 4^{2m} × 4^{3m} = 4^{21}$, 即 $4^{5m + 1} = 4^{21}$,
所以 $5m + 1 = 21$, 所以 $m = 4$,
所以原式 $= -m^{6} ÷ m^{5} + 4m^{6} · m^{-5} = -m + 4m = 3m = 12$.
13. (2025·宿豫区期中)已知 $2^{m}=6$，$2^{n}=36$，求下列各式的值：
(1) $2^{m + n}$；
(2) $2^{n - m}$；
(3) $n - 2m + 3$.
(1) $2^{m + n}$；
(2) $2^{n - m}$；
(3) $n - 2m + 3$.
答案：13. 解: (1) $2^{m + n} = 2^{m} · 2^{n} = 6 × 36 = 216$.
(2) $2^{n - m} = 2^{n} ÷ 2^{m} = 36 ÷ 6 = 6$.
(3) 因为 $2^{m} = 6, 2^{n} = 36$,
所以 $2^{n - 2m + 3} = 2^{n} ÷ 2^{2m} · 2^{3} = 2^{n} ÷ (2^{m})^{2} · 2^{3} = 36 ÷ 6^{2} × 8 = 8 = 2^{3}$.
所以 $n - 2m + 3 = 3$.
(2) $2^{n - m} = 2^{n} ÷ 2^{m} = 36 ÷ 6 = 6$.
(3) 因为 $2^{m} = 6, 2^{n} = 36$,
所以 $2^{n - 2m + 3} = 2^{n} ÷ 2^{2m} · 2^{3} = 2^{n} ÷ (2^{m})^{2} · 2^{3} = 36 ÷ 6^{2} × 8 = 8 = 2^{3}$.
所以 $n - 2m + 3 = 3$.
14. 若 $a^{m}=a^{n}(a ＞ 0,a≠ 1,m,n$ 都是正整数)，则 $m = n$，利用此结论解答下列问题：
(1) 如果 $2^{x}· 2^{3}=32$，求 $x$ 的值；
(2) 如果 $2÷ 8^{x}· 16^{x}=32$，求 $x$ 的值；
(3) 若 $x = 5^{m}-2$，$y = 3 - 25^{m}$，用含 $x$ 的代数式表示 $y$.
(1) 如果 $2^{x}· 2^{3}=32$，求 $x$ 的值；
(2) 如果 $2÷ 8^{x}· 16^{x}=32$，求 $x$ 的值；
(3) 若 $x = 5^{m}-2$，$y = 3 - 25^{m}$，用含 $x$ 的代数式表示 $y$.
答案：14. 解: (1) 因为 $2^{x} · 2^{3} = 32$, 所以 $2^{x + 3} = 2^{5}$,
所以 $x + 3 = 5$, 所以 $x = 2$.
(2) 因为 $2 ÷ 8^{x} · 16^{x} = 32$, 所以 $2 ÷ 2^{3x} · 2^{4x} = 2^{5}$,
所以 $2^{1 - 3x + 4x} = 2^{5}$, 所以 $x + 1 = 5$, 所以 $x = 4$.
(3) 因为 $x = 5^{m} - 2$, 所以 $5^{m} = x + 2$,
所以 $y = 3 - 25^{m} = 3 - (5^{2})^{m} = 3 - (5^{m})^{2} = 3 - (x + 2)^{2} = -x^{2} - 4x - 1$,
即 $y = -x^{2} - 4x - 1$.
所以 $x + 3 = 5$, 所以 $x = 2$.
(2) 因为 $2 ÷ 8^{x} · 16^{x} = 32$, 所以 $2 ÷ 2^{3x} · 2^{4x} = 2^{5}$,
所以 $2^{1 - 3x + 4x} = 2^{5}$, 所以 $x + 1 = 5$, 所以 $x = 4$.
(3) 因为 $x = 5^{m} - 2$, 所以 $5^{m} = x + 2$,
所以 $y = 3 - 25^{m} = 3 - (5^{2})^{m} = 3 - (5^{m})^{2} = 3 - (x + 2)^{2} = -x^{2} - 4x - 1$,
即 $y = -x^{2} - 4x - 1$.