11. 先化简,再求值:
(1) $(2x + 3y)(2x - 3y)-x(3x - 2y)$,其中$x = -2$,$y = 0.5$;
(2) $(x - 2)^{2}+2(x + 2)(x - 4)-(x - 3)(x + 3)$,其中$x = -1$.
(1) $(2x + 3y)(2x - 3y)-x(3x - 2y)$,其中$x = -2$,$y = 0.5$;
(2) $(x - 2)^{2}+2(x + 2)(x - 4)-(x - 3)(x + 3)$,其中$x = -1$.
答案：11. 解：(1) 原式 $ = 4x^{2} - 9y^{2} - 3x^{2} + 2xy = x^{2} - 9y^{2} + 2xy $，当 $ x = -2 $，$ y = 0.5 $ 时，原式 $ = (-2)^{2} - 9 × 0.5^{2} + 2 × (-2) × 0.5 = 4 - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{1}{4} $。
(2) 原式 $ = x^{2} - 4x + 4 + 2(x^{2} - 2x - 8) - (x^{2} - 9) = x^{2} - 4x + 4 + 2x^{2} - 4x - 16 - x^{2} + 9 = 2x^{2} - 8x - 3 $，当 $ x = -1 $ 时，原式 $ = 2 × (-1)^{2} - 8 × (-1) - 3 = 2 + 8 - 3 = 7 $。
(2) 原式 $ = x^{2} - 4x + 4 + 2(x^{2} - 2x - 8) - (x^{2} - 9) = x^{2} - 4x + 4 + 2x^{2} - 4x - 16 - x^{2} + 9 = 2x^{2} - 8x - 3 $，当 $ x = -1 $ 时，原式 $ = 2 × (-1)^{2} - 8 × (-1) - 3 = 2 + 8 - 3 = 7 $。
12. 用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,长方形的长为$x$,宽为$y$.设正方形的面积为$S_{1}$,长方形的面积为$S_{2}$.
(1) 用含$x$,$y$的代数式表示正方形的边长为
(2) 用含$x$,$y$的代数式表示$S_{1}-S_{2}$,并比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小.
(1) 用含$x$,$y$的代数式表示正方形的边长为
$ \frac{x + y}{2} $
;(2) 用含$x$,$y$的代数式表示$S_{1}-S_{2}$,并比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小.
答案：12. (1) $ \frac{x + y}{2} $
(2) 解：$ S_{1} - S_{2} = (\frac{x + y}{2})^{2} - xy = \frac{(x - y)^{2}}{4} $。因为 $ \frac{(x - y)^{2}}{4} ＞ 0 $，所以 $ S_{1} ＞ S_{2} $。
(2) 解：$ S_{1} - S_{2} = (\frac{x + y}{2})^{2} - xy = \frac{(x - y)^{2}}{4} $。因为 $ \frac{(x - y)^{2}}{4} ＞ 0 $，所以 $ S_{1} ＞ S_{2} $。
13. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想,其中谈到“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题:如图①是一个长为$4a$,宽为$b$的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成如图②的图形.
(1) 观察图形,写出一个$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$三者之间的等量关系式:
(2) 运用(1)中的结论,当$x - y = 7$,$xy = -6$时,求$x + y$的值;
(3) 若$(m - 2023)(2025 - m)=-4$,求$(m - 2023)^{2}+(2025 - m)^{2}$的值.
(1) 观察图形,写出一个$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$三者之间的等量关系式:
$ (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab $
;(2) 运用(1)中的结论,当$x - y = 7$,$xy = -6$时,求$x + y$的值;
(3) 若$(m - 2023)(2025 - m)=-4$,求$(m - 2023)^{2}+(2025 - m)^{2}$的值.
答案：13. (1) $ (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab $
(2) 解：因为 $ x - y = 7 $，$ xy = -6 $，所以 $ (x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy = 7^{2} + 4 × (-6) = 49 - 24 = 25 $，所以 $ x + y = \pm 5 $。
(3) 解：令 $ m - 2023 = a $，$ 2025 - m = b $，则 $ a + b = 1 $，$ ab = -4 $，所以 $ (m - 2023)^{2} + (2025 - m)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 2^{2} - 2 × (-4) = 4 + 8 = 12 $。
(2) 解：因为 $ x - y = 7 $，$ xy = -6 $，所以 $ (x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy = 7^{2} + 4 × (-6) = 49 - 24 = 25 $，所以 $ x + y = \pm 5 $。
(3) 解：令 $ m - 2023 = a $，$ 2025 - m = b $，则 $ a + b = 1 $，$ ab = -4 $，所以 $ (m - 2023)^{2} + (2025 - m)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 2^{2} - 2 × (-4) = 4 + 8 = 12 $。
