10. (2024·徐州)若$mn = 2$，$m - n = 1$，则代数式$m^{2}n - mn^{2}$的值是
2
.答案：10. 2
解析：
$m^{2}n - mn^{2} = mn(m - n)$，将$mn = 2$，$m - n = 1$代入，得$2×1 = 2$。
11. 已知$M$和$N$表示单项式，且$3x(M - 5x)=6x^{2}y^{2}+N$，则$M =$，$N =$.
答案：11. $2xy^{2}$ $-15x^{2}$
12. (1)已知$ab^{2}=-1$，则$-ab(a^{2}b^{5}-ab^{3}-b)$的值为
(2)已知$x(x - 2)=3$，则代数式$2x^{2}-4x - 7$的值为
1
；(2)已知$x(x - 2)=3$，则代数式$2x^{2}-4x - 7$的值为
-1
.答案：12. (1) 1 (2) $-1$
解析：
(1) $-ab(a^{2}b^{5}-ab^{3}-b)$
$=-a^{3}b^{6}+a^{2}b^{4}+ab^{2}$
$=-(ab^{2})^{3}+(ab^{2})^{2}+ab^{2}$
当$ab^{2}=-1$时，
原式$=-(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)$
$=1 + 1 - 1$
$=1$
(2) 因为$x(x - 2)=3$，所以$x^{2}-2x=3$
$2x^{2}-4x - 7$
$=2(x^{2}-2x)-7$
$=2×3 - 7$
$=6 - 7$
$=-1$
$=-a^{3}b^{6}+a^{2}b^{4}+ab^{2}$
$=-(ab^{2})^{3}+(ab^{2})^{2}+ab^{2}$
当$ab^{2}=-1$时，
原式$=-(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)$
$=1 + 1 - 1$
$=1$
(2) 因为$x(x - 2)=3$，所以$x^{2}-2x=3$
$2x^{2}-4x - 7$
$=2(x^{2}-2x)-7$
$=2×3 - 7$
$=6 - 7$
$=-1$
13. 计算：
(1)(2024·南通)$2m(\dfrac{1}{2}m - 1)-m(m + 1)$；
(2)$(-3x + 1)· (-2x)^{2}$；
(3)$(-a)^{3}· (a^{2}-2a)-(-2a^{2})^{2}$；
(4)$3a(9a + 3)-4a(2a - 1)$；
(5)$x^{2}(x - 1)-x(x^{2}+x - 1)$；
(6)$x^{3}-2x[x^{2}-3(x - 1)]+6x$.
(1)(2024·南通)$2m(\dfrac{1}{2}m - 1)-m(m + 1)$；
(2)$(-3x + 1)· (-2x)^{2}$；
(3)$(-a)^{3}· (a^{2}-2a)-(-2a^{2})^{2}$；
(4)$3a(9a + 3)-4a(2a - 1)$；
(5)$x^{2}(x - 1)-x(x^{2}+x - 1)$；
(6)$x^{3}-2x[x^{2}-3(x - 1)]+6x$.
答案：13. (1) $-3m$ (2) $-12x^{3}+4x^{2}$ (3) $-a^{5}-2a^{4}$ (4) $19a^{2}+13a$ (5) $-2x^{2}+x$ (6) $-x^{3}+6x^{2}$
解析：
(1) $2m(\dfrac{1}{2}m - 1)-m(m + 1)$
$=m^{2}-2m - m^{2}-m$
$=-3m$
(2) $(-3x + 1)· (-2x)^{2}$
$=(-3x + 1)·4x^{2}$
$=-12x^{3}+4x^{2}$
(3) $(-a)^{3}· (a^{2}-2a)-(-2a^{2})^{2}$
$=-a^{3}(a^{2}-2a)-4a^{4}$
$=-a^{5}+2a^{4}-4a^{4}$
$=-a^{5}-2a^{4}$
(4) $3a(9a + 3)-4a(2a - 1)$
$=27a^{2}+9a - 8a^{2}+4a$
$=19a^{2}+13a$
(5) $x^{2}(x - 1)-x(x^{2}+x - 1)$
$=x^{3}-x^{2}-x^{3}-x^{2}+x$
$=-2x^{2}+x$
(6) $x^{3}-2x[x^{2}-3(x - 1)]+6x$
$=x^{3}-2x(x^{2}-3x + 3)+6x$
$=x^{3}-2x^{3}+6x^{2}-6x + 6x$
$=-x^{3}+6x^{2}$
$=m^{2}-2m - m^{2}-m$
$=-3m$
(2) $(-3x + 1)· (-2x)^{2}$
$=(-3x + 1)·4x^{2}$
$=-12x^{3}+4x^{2}$
(3) $(-a)^{3}· (a^{2}-2a)-(-2a^{2})^{2}$
$=-a^{3}(a^{2}-2a)-4a^{4}$
$=-a^{5}+2a^{4}-4a^{4}$
$=-a^{5}-2a^{4}$
(4) $3a(9a + 3)-4a(2a - 1)$
$=27a^{2}+9a - 8a^{2}+4a$
$=19a^{2}+13a$
(5) $x^{2}(x - 1)-x(x^{2}+x - 1)$
$=x^{3}-x^{2}-x^{3}-x^{2}+x$
$=-2x^{2}+x$
(6) $x^{3}-2x[x^{2}-3(x - 1)]+6x$
$=x^{3}-2x(x^{2}-3x + 3)+6x$
$=x^{3}-2x^{3}+6x^{2}-6x + 6x$
$=-x^{3}+6x^{2}$
14. 已知关于$x$的等式$x(x^{2}-a)+3x - 2b=x^{3}+2x + 4$恒成立，求代数式$(-2a)^{3}· (a^{2}-2ab + 3b^{2})$的值.
答案：14. 解：整理$x(x^{2}-a)+3x-2b=x^{3}+2x+4$，
得$x^{3}+(3-a)x-2b=x^{3}+2x+4$，
所以$3-a=2$，$-2b=4$，解得$a=1$，$b=-2$。
所以原式$=-8a^{3}· (a^{2}-2ab+3b^{2})$
$=-8a^{5}+16a^{4}b-24a^{3}b^{2}$
$=-8×1^{5}+16×1^{4}×(-2)-24×1^{3}×(-2)^{2}$
$=-8×1+16×1×(-2)-24×1×4$
$=-8-32-96$
$=-136$。
得$x^{3}+(3-a)x-2b=x^{3}+2x+4$，
所以$3-a=2$，$-2b=4$，解得$a=1$，$b=-2$。
所以原式$=-8a^{3}· (a^{2}-2ab+3b^{2})$
$=-8a^{5}+16a^{4}b-24a^{3}b^{2}$
$=-8×1^{5}+16×1^{4}×(-2)-24×1^{3}×(-2)^{2}$
$=-8×1+16×1×(-2)-24×1×4$
$=-8-32-96$
$=-136$。
15. 如图，点$B$在线段$AC$上$(BC＞AB)$，在线段$AC$同侧作正方形$ABMN$和正方形$BCEF$，连接$AM$，$ME$，$EA$得到$△ AME$.当$AB = 1$时，$△ AME$的面积记为$S_{1}$；当$AB = 2$时，$△ AME$的面积记为$S_{2}$；当$AB = 3$时，$△ AME$的面积记为$S_{3}$，…，则$S_{21}-S_{20}=$
$\dfrac{41}{2}$
.答案：15. $\frac {41}{2}$
解析：
解：设$AB = n$，正方形$ABMN$边长为$n$，正方形$BCEF$边长为$m$（$m ＞ n$）。
以$A$为原点，$AC$为$x$轴建立坐标系：
$A(0,0)$，$M(n,n)$，$E(n + m,m)$。
$△ AME$面积$S = \frac{1}{2} ×$底$×$高。
底$AM$在直线$y = x$上，$E$到$AM$距离$d=\frac{|(n + m)-m|}{\sqrt{2}}=\frac{n}{\sqrt{2}}$，$AM = n\sqrt{2}$。
$\therefore S=\frac{1}{2} × n\sqrt{2} × \frac{n}{\sqrt{2}}=\frac{n^2}{2}$。
当$n = 21$时，$S_{21}=\frac{21^2}{2}=\frac{441}{2}$；当$n = 20$时，$S_{20}=\frac{20^2}{2}=200$。
$S_{21}-S_{20}=\frac{441}{2}-200=\frac{441 - 400}{2}=\frac{41}{2}$。
$\frac{41}{2}$
以$A$为原点，$AC$为$x$轴建立坐标系：
$A(0,0)$，$M(n,n)$，$E(n + m,m)$。
$△ AME$面积$S = \frac{1}{2} ×$底$×$高。
底$AM$在直线$y = x$上，$E$到$AM$距离$d=\frac{|(n + m)-m|}{\sqrt{2}}=\frac{n}{\sqrt{2}}$，$AM = n\sqrt{2}$。
$\therefore S=\frac{1}{2} × n\sqrt{2} × \frac{n}{\sqrt{2}}=\frac{n^2}{2}$。
当$n = 21$时，$S_{21}=\frac{21^2}{2}=\frac{441}{2}$；当$n = 20$时，$S_{20}=\frac{20^2}{2}=200$。
$S_{21}-S_{20}=\frac{441}{2}-200=\frac{441 - 400}{2}=\frac{41}{2}$。
$\frac{41}{2}$