1. 如果$(x+a)(x+b)$的结果中不含$x$的一次项，那么$a,b$满足 (
A.$a=b$
B.$a=0$
C.$a=-b$
D.$b=0$
C
)A.$a=b$
B.$a=0$
C.$a=-b$
D.$b=0$
答案：1. C
解析：
解：$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$，
因为结果中不含$x$的一次项，所以$a+b=0$，即$a=-b$。
C
因为结果中不含$x$的一次项，所以$a+b=0$，即$a=-b$。
C
2. 若$(x-1)(x+2)=x^{2}+ax+b$，则$a,b$的值是 (
A.$a=1,b=2$
B.$a=-1,b=2$
C.$a=1,b=-2$
D.$a=-1,b=-2$
C
)A.$a=1,b=2$
B.$a=-1,b=2$
C.$a=1,b=-2$
D.$a=-1,b=-2$
答案：2. C
解析：
展开左边：$(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
对比右边$x^2 + ax + b$，得$a = 1$，$b = -2$
C
对比右边$x^2 + ax + b$，得$a = 1$，$b = -2$
C
3. (2025·宿城期末)若$(x-1)(x+3)=x^{2}+mx+n$，则$m+n=$
-1
.答案：3. -1
解析：
$(x-1)(x+3)$
$=x^{2}+3x - x - 3$
$=x^{2}+2x - 3$
因为$(x-1)(x+3)=x^{2}+mx + n$，所以$m=2$，$n=-3$。
$m + n=2 + (-3)=-1$
-1
$=x^{2}+3x - x - 3$
$=x^{2}+2x - 3$
因为$(x-1)(x+3)=x^{2}+mx + n$，所以$m=2$，$n=-3$。
$m + n=2 + (-3)=-1$
-1
4. 若$x^{2}+2x=2$，则代数式$(x+4)(x-2)$的值为
-6
.答案：4. -6
解析：
$(x+4)(x-2)$
$=x^{2}-2x+4x-8$
$=x^{2}+2x-8$
因为$x^{2}+2x=2$，所以原式$=2 - 8 = -6$
-6
$=x^{2}-2x+4x-8$
$=x^{2}+2x-8$
因为$x^{2}+2x=2$，所以原式$=2 - 8 = -6$
-6
5. 计算：
（1）$(x-5)(x+3)$；
（2）$(2t-1)(t+2)$；
（3）$(2x+3y)(x-y)$；
（4）$(m+\dfrac{1}{2}n)(m-\dfrac{1}{3}n)$；
（5）$(m-1)(m^{2}+m+1)$；
（6）$(x+7)(x-6)-x(x-2)$.
（1）$(x-5)(x+3)$；
（2）$(2t-1)(t+2)$；
（3）$(2x+3y)(x-y)$；
（4）$(m+\dfrac{1}{2}n)(m-\dfrac{1}{3}n)$；
（5）$(m-1)(m^{2}+m+1)$；
（6）$(x+7)(x-6)-x(x-2)$.
答案：5. 解：(1) 原式$=x^{2}+3x - 5x - 15 = x^{2}-2x - 15$。
(2) 原式$=2t^{2}+4t - t - 2 = 2t^{2}+3t - 2$。
(3) 原式$=2x^{2}-2xy + 3xy - 3y^{2} = 2x^{2}+xy - 3y^{2}$。
(4) 原式$=m^{2}-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}mn-\frac{1}{6}n^{2}=m^{2}+\frac{1}{6}mn-\frac{1}{6}n^{2}$。
(5) 原式$=m^{3}+m^{2}+m - m^{2}-m - 1 = m^{3}-1$。
(6) 原式$=x^{2}-6x + 7x - 42 - x^{2}+2x = 3x - 42$。
(2) 原式$=2t^{2}+4t - t - 2 = 2t^{2}+3t - 2$。
(3) 原式$=2x^{2}-2xy + 3xy - 3y^{2} = 2x^{2}+xy - 3y^{2}$。
(4) 原式$=m^{2}-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}mn-\frac{1}{6}n^{2}=m^{2}+\frac{1}{6}mn-\frac{1}{6}n^{2}$。
(5) 原式$=m^{3}+m^{2}+m - m^{2}-m - 1 = m^{3}-1$。
(6) 原式$=x^{2}-6x + 7x - 42 - x^{2}+2x = 3x - 42$。
6. (2024·南通期中)下列运算中，正确的是 (
A.$x^{3}· x^{5}=x^{15}$
B.$2x^{2}· (3x^{2}-5y)=6x^{4}-10x^{2}y$
C.$2x+3y=5xy$
D.$(x-2)(2x+3)=2x^{2}+7x-6$
B
)A.$x^{3}· x^{5}=x^{15}$
B.$2x^{2}· (3x^{2}-5y)=6x^{4}-10x^{2}y$
C.$2x+3y=5xy$
D.$(x-2)(2x+3)=2x^{2}+7x-6$
答案：6. B
7. (2025·昆山期中)$(ax+2)(x^{2}-3x+b)$的展开式中不含$x^{2}$项和常数项，则$3a+2025b=$
2
.答案：7. 2
解析：
$(ax+2)(x^{2}-3x+b)$
$=ax^{3}-3ax^{2}+abx+2x^{2}-6x+2b$
$=ax^{3}+(-3a+2)x^{2}+(ab-6)x+2b$
因为展开式中不含$x^{2}$项和常数项，所以：
$\begin{cases}-3a + 2 = 0 \\ 2b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \dfrac{2}{3} \\ b = 0\end{cases}$
$3a + 2025b = 3×\dfrac{2}{3} + 2025×0 = 2 + 0 = 2$
2
$=ax^{3}-3ax^{2}+abx+2x^{2}-6x+2b$
$=ax^{3}+(-3a+2)x^{2}+(ab-6)x+2b$
因为展开式中不含$x^{2}$项和常数项，所以：
$\begin{cases}-3a + 2 = 0 \\ 2b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \dfrac{2}{3} \\ b = 0\end{cases}$
$3a + 2025b = 3×\dfrac{2}{3} + 2025×0 = 2 + 0 = 2$
2
8. (2025·宿城期末)已知$x^{2}+y^{2}=22$，$xy=7$，那么代数式$(2x-y)(x-2y)$的值为
9
.答案：8. 9
解析：
$(2x - y)(x - 2y)$
$=2x^2 - 4xy - xy + 2y^2$
$=2x^2 + 2y^2 - 5xy$
$=2(x^2 + y^2) - 5xy$
已知$x^2 + y^2 = 22$，$xy = 7$，代入上式得：
$2×22 - 5×7$
$=44 - 35$
$=9$
9
$=2x^2 - 4xy - xy + 2y^2$
$=2x^2 + 2y^2 - 5xy$
$=2(x^2 + y^2) - 5xy$
已知$x^2 + y^2 = 22$，$xy = 7$，代入上式得：
$2×22 - 5×7$
$=44 - 35$
$=9$
9
9. 规律探究 (2025·钟楼区一模)观察：$(x-1)(x+1)=x^{2}-1$，$(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1$，$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1$，…，当$(x-1)(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=0$时，代数式$x^{2025}-1$的值为
0 或 -2
.答案：9. 0 或 -2
解析：
由规律可得$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 - 1$，
因为$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$，所以$x^6 - 1 = 0$，即$x^6 = 1$，
解得$x = 1$或$x = -1$（$x$为实数根），
当$x = 1$时，$x^{2025} - 1 = 1^{2025} - 1 = 0$，
当$x = -1$时，$x^{2025} - 1 = (-1)^{2025} - 1 = -1 - 1 = -2$，
故代数式$x^{2025} - 1$的值为$0$或$-2$。
因为$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$，所以$x^6 - 1 = 0$，即$x^6 = 1$，
解得$x = 1$或$x = -1$（$x$为实数根），
当$x = 1$时，$x^{2025} - 1 = 1^{2025} - 1 = 0$，
当$x = -1$时，$x^{2025} - 1 = (-1)^{2025} - 1 = -1 - 1 = -2$，
故代数式$x^{2025} - 1$的值为$0$或$-2$。
10. 已知$4x^{2}-x=1014$，则代数式$(2x+1)(4x-3)$的值为
2025
.答案：10. 2025
解析：
$(2x+1)(4x-3)$
$=8x^{2}-6x+4x-3$
$=8x^{2}-2x-3$
$=2(4x^{2}-x)-3$
因为$4x^{2}-x=1014$，所以原式$=2×1014 - 3=2028 - 3=2025$
2025
$=8x^{2}-6x+4x-3$
$=8x^{2}-2x-3$
$=2(4x^{2}-x)-3$
因为$4x^{2}-x=1014$，所以原式$=2×1014 - 3=2028 - 3=2025$
2025