1. (2025·成都)下列计算正确的是(
A.$ x + 2y = 3xy $
B.$ (x^{3})^{2} = x^{5} $
C.$ (x - y)^{2} = x^{2} - y^{2} $
D.$ 2xy · 3x = 6x^{2}y $
D
)A.$ x + 2y = 3xy $
B.$ (x^{3})^{2} = x^{5} $
C.$ (x - y)^{2} = x^{2} - y^{2} $
D.$ 2xy · 3x = 6x^{2}y $
答案：1. D
2. (2025·宿豫区期末)下列各式中，是完全平方式的是(
A.$ m^{2} - mn + n^{2} $
B.$ x^{2} - 2x - 1 $
C.$ x^{2} + 2x + \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{4}b^{2} - ab + a^{2} $
D
)A.$ m^{2} - mn + n^{2} $
B.$ x^{2} - 2x - 1 $
C.$ x^{2} + 2x + \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{4}b^{2} - ab + a^{2} $
答案：2. D
解析：
完全平方式需满足$a^2\pm2ab+b^2$的形式。
A选项：$m^2 - mn + n^2$，中间项应为$\pm2mn$，不符合。
B选项：$x^2 - 2x - 1$，常数项为负，不符合。
C选项：$x^2 + 2x + \frac{1}{4}$，常数项应为$1$，不符合。
D选项：$\frac{1}{4}b^2 - ab + a^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - 2·\frac{1}{2}b· a + a^2$，符合完全平方式。
D
A选项：$m^2 - mn + n^2$，中间项应为$\pm2mn$，不符合。
B选项：$x^2 - 2x - 1$，常数项为负，不符合。
C选项：$x^2 + 2x + \frac{1}{4}$，常数项应为$1$，不符合。
D选项：$\frac{1}{4}b^2 - ab + a^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - 2·\frac{1}{2}b· a + a^2$，符合完全平方式。
D
3. 填空：$ (2x + \frac{1}{2})^{2} = 4x^{2} + \_\_\_\_\_\_ x + \_\_\_\_\_\_ + 4y^{2} $.
答案：3. $ 2 $ $ \dfrac{1}{4} $ $ -4xy $
解析：
2；$\dfrac{1}{4}$；$-4xy$
4. (2025·宿城期中)若$ m^{2} - 12y + 9y^{2} $是完全平方式，则$ m $的值等于
$ \pm 2 $
.答案：4. $ \pm 2 $
解析：
$ \pm 6y $
5. 计算：
(1) $ (x + \frac{1}{2})^{2} $；
(2) $ (3a - 4)^{2} $；
(3) $ (-2x + 5y)^{2} $；
(4) $ (-2a - \frac{1}{4})^{2} $；
(5) $ (2x - \frac{1}{3}xy)^{2} $；
(6) $ (a + b - c)^{2} $.
(1) $ (x + \frac{1}{2})^{2} $；
(2) $ (3a - 4)^{2} $；
(3) $ (-2x + 5y)^{2} $；
(4) $ (-2a - \frac{1}{4})^{2} $；
(5) $ (2x - \frac{1}{3}xy)^{2} $；
(6) $ (a + b - c)^{2} $.
答案：5. 解: (1) 原式 $ =x^{2}+x+\dfrac{1}{4} $.
(2) 原式 $ =(3a)^{2}-2 × 3a × 4+4^{2}=9a^{2}-24a+16 $.
(3) 原式 $ =(-2x)^{2}+2 × (-2x) × 5y+(5y)^{2}=4x^{2}-20xy+25y^{2} $.
(4) 原式 $ =(-2a)^{2}+2 × (-2a) × (-\dfrac{1}{4})+(-\dfrac{1}{4})^{2}=4a^{2}+a+\dfrac{1}{16} $.
(5) 原式 $ =(2x)^{2}+2 · 2x · (-\dfrac{1}{3}xy)+(-\dfrac{1}{3}xy)^{2}=4x^{2}-\dfrac{4}{3}x^{2}y+\dfrac{1}{9}x^{2}y^{2} $.
(6) 原式 $ =(a+b)^{2}-2c(a+b)+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc $.
(2) 原式 $ =(3a)^{2}-2 × 3a × 4+4^{2}=9a^{2}-24a+16 $.
(3) 原式 $ =(-2x)^{2}+2 × (-2x) × 5y+(5y)^{2}=4x^{2}-20xy+25y^{2} $.
(4) 原式 $ =(-2a)^{2}+2 × (-2a) × (-\dfrac{1}{4})+(-\dfrac{1}{4})^{2}=4a^{2}+a+\dfrac{1}{16} $.
(5) 原式 $ =(2x)^{2}+2 · 2x · (-\dfrac{1}{3}xy)+(-\dfrac{1}{3}xy)^{2}=4x^{2}-\dfrac{4}{3}x^{2}y+\dfrac{1}{9}x^{2}y^{2} $.
(6) 原式 $ =(a+b)^{2}-2c(a+b)+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc $.
6. 代数式$ a^{2} + b^{2} - 4a + 6b $的最小值是(
A.$-13$
B.$-9$
C.$-4$
D.$-5$
A
)A.$-13$
B.$-9$
C.$-4$
D.$-5$
答案：6. A
解析：
$\begin{aligned}a^{2} + b^{2} - 4a + 6b&=a^{2}-4a + b^{2}+6b\\&=(a^{2}-4a + 4)-4 + (b^{2}+6b + 9)-9\\&=(a - 2)^{2} + (b + 3)^{2}-13\end{aligned}$
因为$(a - 2)^{2}≥0$，$(b + 3)^{2}≥0$，所以当$a = 2$，$b=-3$时，代数式有最小值$-13$。
A
因为$(a - 2)^{2}≥0$，$(b + 3)^{2}≥0$，所以当$a = 2$，$b=-3$时，代数式有最小值$-13$。
A
7. (2024·宿城期中)已知$ (m + n)^{2} = 7 $，$ (m - n)^{2} = 3 $，则$ m^{2} + n^{2} = $
$ 5 $
.答案：7. $ 5 $
解析：
解：因为$(m + n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2} = 7$，$(m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2} = 3$，将两式相加可得：$(m^{2} + 2mn + n^{2}) + (m^{2} - 2mn + n^{2}) = 7 + 3$，即$2m^{2} + 2n^{2} = 10$，所以$m^{2} + n^{2} = 5$。
5
5
8. (2024·乐山)已知$ a - b = 3 $，$ ab = 10 $，则$ a^{2} + b^{2} = $
$ 29 $
.答案：8. $ 29 $
解析：
因为$a - b = 3$，$ab = 10$，所以$a^2 + b^2=(a - b)^2+2ab=3^2 + 2×10=9 + 20=29$。
29
29
9. 已知$ x^{2} - 2x - 2 = 0 $，代数式$ (x - 1)^{2} + 2022 = $
$ 2025 $
.答案：9. $ 2025 $
解析：
由$x^{2} - 2x - 2 = 0$，得$x^{2}-2x=2$。
$(x - 1)^{2} + 2022 = x^{2}-2x + 1 + 2022$，将$x^{2}-2x=2$代入，得$2 + 1 + 2022 = 2025$。
2025
$(x - 1)^{2} + 2022 = x^{2}-2x + 1 + 2022$，将$x^{2}-2x=2$代入，得$2 + 1 + 2022 = 2025$。
2025
10. 若实数$ m $满足$ (m - 2023)^{2} + (2024 - m)^{2} = 2025 $，则$ (m - 2023)(2024 - m) = $
$ -1012 $
.答案：10. $ -1012 $
解析：
设$a = m - 2023$，$b = 2024 - m$，则$a + b = (m - 2023) + (2024 - m) = 1$。
已知$a^2 + b^2 = 2025$，又因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$1^2 = 2025 + 2ab$，即$1 = 2025 + 2ab$。
解得$2ab = 1 - 2025 = -2024$，所以$ab = -1012$，即$(m - 2023)(2024 - m) = -1012$。
$-1012$
已知$a^2 + b^2 = 2025$，又因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$1^2 = 2025 + 2ab$，即$1 = 2025 + 2ab$。
解得$2ab = 1 - 2025 = -2024$，所以$ab = -1012$，即$(m - 2023)(2024 - m) = -1012$。
$-1012$
11. 计算：
(1) $ (-a - 3b)^{2} $；
(2) $ (a^{2} - \frac{1}{2})^{2} $；
(3) $ 1002^{2} $；
(4) $ (2a + 1)^{2} - (1 - 2a)^{2} $；
(5) $ (3x - y)^{2} - (2x + y)^{2} + 5x(y - x) $.
(1) $ (-a - 3b)^{2} $；
(2) $ (a^{2} - \frac{1}{2})^{2} $；
(3) $ 1002^{2} $；
(4) $ (2a + 1)^{2} - (1 - 2a)^{2} $；
(5) $ (3x - y)^{2} - (2x + y)^{2} + 5x(y - x) $.
答案：11. 解: (1) 原式 $ =a^{2}+6ab+9b^{2} $.
(2) 原式 $ =a^{4}-a^{2}+\dfrac{1}{4} $.
(3) 原式 $ =(1000+2)^{2}=1000^{2}+2 × 1000 × 2+2^{2}=1000000+4000+4=1004004 $.
(4) 原式 $ =4a^{2}+4a+1-(4a^{2}-4a+1)=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+4a-1=8a $.
(5) 原式 $ =9x^{2}-6xy+y^{2}-(4x^{2}+4xy+y^{2})+5xy-5x^{2}=9x^{2}-6xy+y^{2}-4x^{2}-4xy-y^{2}+5xy-5x^{2}=-5xy $.
(2) 原式 $ =a^{4}-a^{2}+\dfrac{1}{4} $.
(3) 原式 $ =(1000+2)^{2}=1000^{2}+2 × 1000 × 2+2^{2}=1000000+4000+4=1004004 $.
(4) 原式 $ =4a^{2}+4a+1-(4a^{2}-4a+1)=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+4a-1=8a $.
(5) 原式 $ =9x^{2}-6xy+y^{2}-(4x^{2}+4xy+y^{2})+5xy-5x^{2}=9x^{2}-6xy+y^{2}-4x^{2}-4xy-y^{2}+5xy-5x^{2}=-5xy $.