12. (2024·宿豫区期中)先化简，再求值：$ (3x - 1)(x + 1) + (x - 2)^{2} - 3 $，其中$ 2x^{2} - x = 1 $.
答案：12. 解: 原式 $ =3x^{2}+3x-x-1+x^{2}-4x+4-3=4x^{2}-2x $.
当 $ 2x^{2}-x=1 $ 时, 原式 $ =2(2x^{2}-x)=2 × 1=2 $.
当 $ 2x^{2}-x=1 $ 时, 原式 $ =2(2x^{2}-x)=2 × 1=2 $.
13. (2025·宿豫区期末)(1)已知$ a + \frac{1}{a} = 3 $，求$ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} $的值；
(2)已知$ xy = 9 $，$ x - y = 3 $，求$ x^{2} + 3xy + y^{2} $的值.
(2)已知$ xy = 9 $，$ x - y = 3 $，求$ x^{2} + 3xy + y^{2} $的值.
答案：13. 解: (1) 因为 $ a+\dfrac{1}{a}=3 $, 所以 $ (a+\dfrac{1}{a})^{2}=9 $,
所以 $ a^{2}+2+\dfrac{1}{a^{2}}=9 $, 所以 $ a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=7 $.
(2) 因为 $ xy=9 $, $ x-y=3 $,
所以 $ x^{2}+3xy+y^{2}=(x-y)^{2}+5xy=3^{2}+5 × 9=54 $.
所以 $ a^{2}+2+\dfrac{1}{a^{2}}=9 $, 所以 $ a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=7 $.
(2) 因为 $ xy=9 $, $ x-y=3 $,
所以 $ x^{2}+3xy+y^{2}=(x-y)^{2}+5xy=3^{2}+5 × 9=54 $.
14. 阅读下面的材料：若$ m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0 $，求$ m $，$ n $的值.
解：$ \because m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0 $，$ \therefore m^{2} - 2mn + n^{2} + n^{2} - 8n + 16 = 0 $，$ \therefore (m - n)^{2} + (n - 4)^{2} = 0 $，$ \therefore m - n = 0 $且$ n - 4 = 0 $，$ \therefore m = n = 4 $. 根据你的观察，解答下列问题：
(1)若$ a^{2} - 6a + 9 + b^{2} = 0 $，则$ a = $
(2)已知$ x^{2} - 2xy + 2y^{2} - 4y + 4 = 0 $，求$ x^{y} $的值；
(3)已知$ △ ABC $的三边长$ a $，$ b $，$ c $都是正整数，且满足$ a^{2} + b^{2} - 2a - 6b + 10 = 0 $，求$ △ ABC $的周长.
解：$ \because m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0 $，$ \therefore m^{2} - 2mn + n^{2} + n^{2} - 8n + 16 = 0 $，$ \therefore (m - n)^{2} + (n - 4)^{2} = 0 $，$ \therefore m - n = 0 $且$ n - 4 = 0 $，$ \therefore m = n = 4 $. 根据你的观察，解答下列问题：
(1)若$ a^{2} - 6a + 9 + b^{2} = 0 $，则$ a = $
$ 3 $
，$ b = $$ 0 $
；(2)已知$ x^{2} - 2xy + 2y^{2} - 4y + 4 = 0 $，求$ x^{y} $的值；
(3)已知$ △ ABC $的三边长$ a $，$ b $，$ c $都是正整数，且满足$ a^{2} + b^{2} - 2a - 6b + 10 = 0 $，求$ △ ABC $的周长.
答案：14. (1) $ 3 $ $ 0 $
(2) 解: 因为 $ x^{2}-2xy+2y^{2}-4y+4=0 $,
所以 $ x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}-4y+4=0 $,
所以 $ (x-y)^{2}+(y-2)^{2}=0 $,
所以 $ x-y=0 $ 且 $ y-2=0 $,
所以 $ x=y=2 $, 所以 $ x^{y}=2^{2}=4 $.
(3) 解: 因为 $ a^{2}+b^{2}-2a-6b+10=0 $,
所以 $ a^{2}-2a+1+b^{2}-6b+9=0 $,
所以 $ (a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0 $,
所以 $ a-1=0 $, $ b-3=0 $, 所以 $ a=1 $, $ b=3 $,
所以边长 $ c $ 的取值范围是 $ 3-1 ＜ c ＜ 3+1 $,
即 $ 2 ＜ c ＜ 4 $. 因为 $ a $, $ b $, $ c $ 都是正整数,
所以 $ c=3 $, 所以 $ △ ABC $ 的周长为 $ 1+3+3=7 $.
(2) 解: 因为 $ x^{2}-2xy+2y^{2}-4y+4=0 $,
所以 $ x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}-4y+4=0 $,
所以 $ (x-y)^{2}+(y-2)^{2}=0 $,
所以 $ x-y=0 $ 且 $ y-2=0 $,
所以 $ x=y=2 $, 所以 $ x^{y}=2^{2}=4 $.
(3) 解: 因为 $ a^{2}+b^{2}-2a-6b+10=0 $,
所以 $ a^{2}-2a+1+b^{2}-6b+9=0 $,
所以 $ (a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0 $,
所以 $ a-1=0 $, $ b-3=0 $, 所以 $ a=1 $, $ b=3 $,
所以边长 $ c $ 的取值范围是 $ 3-1 ＜ c ＜ 3+1 $,
即 $ 2 ＜ c ＜ 4 $. 因为 $ a $, $ b $, $ c $ 都是正整数,
所以 $ c=3 $, 所以 $ △ ABC $ 的周长为 $ 1+3+3=7 $.