8. (2024·秦淮期中)若$p = x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 2030$，则$p$的最小值为
2025
.答案：8. 2025
解析：
$p=x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 2030$，
$p=(x^{2}+2x + 1)+(y^{2}-4y + 4)+2030 - 1 - 4$，
$p=(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}+2025$，
因为$(x + 1)^{2}≥0$，$(y - 2)^{2}≥0$，
所以当$x + 1 = 0$且$y - 2 = 0$，即$x=-1$，$y = 2$时，$p$取得最小值，
$p_{\mathrm{min}}=0 + 0 + 2025=2025$。
2025
$p=(x^{2}+2x + 1)+(y^{2}-4y + 4)+2030 - 1 - 4$，
$p=(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}+2025$，
因为$(x + 1)^{2}≥0$，$(y - 2)^{2}≥0$，
所以当$x + 1 = 0$且$y - 2 = 0$，即$x=-1$，$y = 2$时，$p$取得最小值，
$p_{\mathrm{min}}=0 + 0 + 2025=2025$。
2025
9. (2025·启东期末)已知$(a^{2}+b^{2}+3)(a^{2}+b^{2}-3)=7$，$ab = 3$，则$(a + b)^{2}=$
10
.答案：9. 10
解析：
设$x = a^{2} + b^{2}$，则原方程可化为$(x + 3)(x - 3) = 7$，即$x^{2} - 9 = 7$，$x^{2} = 16$，解得$x = 4$（$x = -4$舍去），所以$a^{2} + b^{2} = 4$。$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 4 + 2×3 = 10$。
10
10
10. (2025·鼓楼区期中)计算$(3m + 2n)^{2}(2n - 3m)^{2}$的结果为
$81m^{4}-72m^{2}n^{2}+16n^{4}$
.答案：10. $81m^{4}-72m^{2}n^{2}+16n^{4}$
解析：
$(3m + 2n)^{2}(2n - 3m)^{2}$
$=[(3m + 2n)(2n - 3m)]^{2}$
$=[(2n)^{2}-(3m)^{2}]^{2}$
$=(4n^{2}-9m^{2})^{2}$
$=( - 9m^{2}+4n^{2})^{2}$
$=(9m^{2})^{2}-2×9m^{2}×4n^{2}+(4n^{2})^{2}$
$=81m^{4}-72m^{2}n^{2}+16n^{4}$
$=[(3m + 2n)(2n - 3m)]^{2}$
$=[(2n)^{2}-(3m)^{2}]^{2}$
$=(4n^{2}-9m^{2})^{2}$
$=( - 9m^{2}+4n^{2})^{2}$
$=(9m^{2})^{2}-2×9m^{2}×4n^{2}+(4n^{2})^{2}$
$=81m^{4}-72m^{2}n^{2}+16n^{4}$
11. 计算：
(1)$(2a + 1)^{2}-(1 - 2a)^{2}$；
(2)$(x - 1)^{2}-(2x + 3)(2x - 3)$；
(3)$(-y - 3x)(3x - y)-(2x-\frac{1}{2}y)^{2}$；
(4)$[(a + 2b)^{2}+(a - 2b)^{2}](a^{2}-4b^{2})$.
(1)$(2a + 1)^{2}-(1 - 2a)^{2}$；
(2)$(x - 1)^{2}-(2x + 3)(2x - 3)$；
(3)$(-y - 3x)(3x - y)-(2x-\frac{1}{2}y)^{2}$；
(4)$[(a + 2b)^{2}+(a - 2b)^{2}](a^{2}-4b^{2})$.
答案：11. 解: (1) 原式$=4a^{2}+4a+1-(1-4a+4a^{2})=8a$.
(2) 原式$=x^{2}-2x+1-4x^{2}+9=-3x^{2}-2x+10$.
(3) 原式$=y^{2}-9x^{2}-4x^{2}+2xy-\frac {1}{4}y^{2}=\frac {3}{4}y^{2}+2xy-13x^{2}$.
(4) 原式$=(2a^{2}+8b^{2})(a^{2}-4b^{2})=2(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2})=2(a^{4}-16b^{4})=2a^{4}-32b^{4}$.
(2) 原式$=x^{2}-2x+1-4x^{2}+9=-3x^{2}-2x+10$.
(3) 原式$=y^{2}-9x^{2}-4x^{2}+2xy-\frac {1}{4}y^{2}=\frac {3}{4}y^{2}+2xy-13x^{2}$.
(4) 原式$=(2a^{2}+8b^{2})(a^{2}-4b^{2})=2(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2})=2(a^{4}-16b^{4})=2a^{4}-32b^{4}$.
12. (2025·宿城期中)如图是一个正方体的平面展开图，标注字母“$a$”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，试求代数式$(2x - y)(2x + y)-(2x - y)^{2}$的值.
答案：12. 解: 由题意, 得$\{\begin{array}{l} 2x=1,\\ y=-4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=-4.\end{array} $
原式$=4x^{2}-y^{2}-(4x^{2}-4xy+y^{2})$
$=4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}=4xy-2y^{2}$
$=4×\frac {1}{2}×(-4)-2×(-4)^{2}=-8-32=-40$.
原式$=4x^{2}-y^{2}-(4x^{2}-4xy+y^{2})$
$=4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}=4xy-2y^{2}$
$=4×\frac {1}{2}×(-4)-2×(-4)^{2}=-8-32=-40$.
13. 根据完全平方公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$，把形如$ax^{2}+bx + c$的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫作“配方法”.例如，把$x^{2}-2x + 9$配方如下：$x^{2}-2x + 9 = x^{2}-2x + 1 + 8=(x - 1)^{2}+8$.请解答下列问题：
(1)填空：配方多项式$x^{2}-4x + 1$的结果为
(2)当$x$等于多少时，代数式$x^{2}+6x + 6$的值最小？
(3)用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少米时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少平方米？
(1)填空：配方多项式$x^{2}-4x + 1$的结果为
$(x-2)^{2}-3$
；(2)当$x$等于多少时，代数式$x^{2}+6x + 6$的值最小？
(3)用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少米时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少平方米？
答案：13. (1)$(x-2)^{2}-3$
(2) 解:$x^{2}+6x+6=x^{2}+6x+9-3=(x+3)^{2}-3$,
因为无论$x$取何值时, 都有$(x+3)^{2}≥0$,
所以当$x=-3$时,$(x+3)^{2}$取最小值 0,
所以代数式$x^{2}+6x+6$的值最小.
(3) 解: 设该长方形的一边长为$x$米, 则其相邻边长为$(6-x)$米, 面积为$y$平方米, 根据题意, 得
$y=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x^{2}-6x+9-9)=-(x-3)^{2}+9$,
所以当$x=3$时,$y$取最大值为 9.
所以当该长方形的相邻两边长均为 3 米时, 围成的长方形面积最大, 最大面积是 9 平方米.
(2) 解:$x^{2}+6x+6=x^{2}+6x+9-3=(x+3)^{2}-3$,
因为无论$x$取何值时, 都有$(x+3)^{2}≥0$,
所以当$x=-3$时,$(x+3)^{2}$取最小值 0,
所以代数式$x^{2}+6x+6$的值最小.
(3) 解: 设该长方形的一边长为$x$米, 则其相邻边长为$(6-x)$米, 面积为$y$平方米, 根据题意, 得
$y=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x^{2}-6x+9-9)=-(x-3)^{2}+9$,
所以当$x=3$时,$y$取最大值为 9.
所以当该长方形的相邻两边长均为 3 米时, 围成的长方形面积最大, 最大面积是 9 平方米.