4. 计算：
(1) $(a + b + c)^{2}-(a - b - c)^{2}$；
(2) $(x - 3y + 2z)^{2}-(x + 3y - 2z)^{2}$。
(1) $(a + b + c)^{2}-(a - b - c)^{2}$；
(2) $(x - 3y + 2z)^{2}-(x + 3y - 2z)^{2}$。
答案：解：(1) 原式 $ = [(a + b + c) + (a - b - c)][(a + b + c) - (a - b - c)] $
$ = (a + b + c + a - b - c)(a + b + c - a + b + c) $
$ = 2a(2b + 2c) $
$ = 4ab + 4ac $。
(2) 原式 $ = [(x - 3y + 2z) + (x + 3y - 2z)][(x - 3y + 2z) - (x + 3y - 2z)] $
$ = (x - 3y + 2z + x + 3y - 2z)(x - 3y + 2z - x - 3y + 2z) $
$ = 2x(-6y + 4z) $
$ = -12xy + 8xz $。
$ = (a + b + c + a - b - c)(a + b + c - a + b + c) $
$ = 2a(2b + 2c) $
$ = 4ab + 4ac $。
(2) 原式 $ = [(x - 3y + 2z) + (x + 3y - 2z)][(x - 3y + 2z) - (x + 3y - 2z)] $
$ = (x - 3y + 2z + x + 3y - 2z)(x - 3y + 2z - x - 3y + 2z) $
$ = 2x(-6y + 4z) $
$ = -12xy + 8xz $。
5. (2024·相城区期中)计算：
(1) $2023^{2}-2021×2025$；
(2) $(2m - 3)^{2}(2m + 3)^{2}$；
(3) $(3a + 2b - 1)(3a - 2b - 1)$。
(1) $2023^{2}-2021×2025$；
(2) $(2m - 3)^{2}(2m + 3)^{2}$；
(3) $(3a + 2b - 1)(3a - 2b - 1)$。
答案：解：(1) 原式 $ = 2023^{2} - (2023 - 2) × (2023 + 2) = 2023^{2} - (2023^{2} - 2^{2}) = 2023^{2} - 2023^{2} + 2^{2} = 4 $。
(2) 原式 $ = [(2m - 3)(2m + 3)]^{2} = (4m^{2} - 9)^{2} = 16m^{4} - 72m^{2} + 81 $。
(3) 原式 $ = [(3a - 1) + 2b][(3a - 1) - 2b] = (3a - 1)^{2} - (2b)^{2} = 9a^{2} - 6a + 1 - 4b^{2} $。
(2) 原式 $ = [(2m - 3)(2m + 3)]^{2} = (4m^{2} - 9)^{2} = 16m^{4} - 72m^{2} + 81 $。
(3) 原式 $ = [(3a - 1) + 2b][(3a - 1) - 2b] = (3a - 1)^{2} - (2b)^{2} = 9a^{2} - 6a + 1 - 4b^{2} $。
6. 有一系列等式：$1×2×3×4 + 1 = 5^{2}=(1^{2}+3×1 + 1)^{2}$；$2×3×4×5 + 1 = 11^{2}=(2^{2}+3×2 + 1)^{2}$；$3×4×5×6 + 1 = 19^{2}=(3^{2}+3×3 + 1)^{2}$；$4×5×6×7 + 1 = 29^{2}=(4^{2}+3×4 + 1)^{2}$……
(1) 根据你的观察、归纳、发现的规律，计算$8×9×10×11 + 1=$
(2) 试猜想$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1$是哪一个数的平方，并给予证明。
(1) 根据你的观察、归纳、发现的规律，计算$8×9×10×11 + 1=$
7921
；(2) 试猜想$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1$是哪一个数的平方，并给予证明。
答案：(1) 7921
(2) 解：$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^{2} + 3n + 1)^{2} $，证明：
$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = [n(n + 3)][(n + 1) · (n + 2)] + 1 $
$ = (n^{2} + 3n)(n^{2} + 3n + 2) + 1 $
$ = (n^{2} + 3n)^{2} + 2(n^{2} + 3n) + 1 $
$ = (n^{2} + 3n + 1)^{2} $。
(2) 解：$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^{2} + 3n + 1)^{2} $，证明：
$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = [n(n + 3)][(n + 1) · (n + 2)] + 1 $
$ = (n^{2} + 3n)(n^{2} + 3n + 2) + 1 $
$ = (n^{2} + 3n)^{2} + 2(n^{2} + 3n) + 1 $
$ = (n^{2} + 3n + 1)^{2} $。
7. (2024·南师附中宿迁分校月考)我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表(如图)给出了$(a + b)^{n}$展开式的系数规律。
$\begin{array}{cccccc}1 & & & & & ············\ (a + b)^{0}=1 $
$1 & 1 & & & & ············\ (a + b)^{1}=a + b \\1 & 2 & 1 & & & ············\ (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2} \\1 & 3 & 3 & 1 & & ············\ (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3} \\\end{array}$
当代数式$x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x + 81$的值为 1 时，求$x$的值。
$\begin{array}{cccccc}1 & & & & & ············\ (a + b)^{0}=1 $
$1 & 1 & & & & ············\ (a + b)^{1}=a + b \\1 & 2 & 1 & & & ············\ (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2} \\1 & 3 & 3 & 1 & & ············\ (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3} \\\end{array}$当代数式$x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x + 81$的值为 1 时，求$x$的值。
答案：解：根据题意，得 $ (a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} $，
所以 $ x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81 = x^{4} + 4x^{3} · (-3) + 6x^{2} · (-3)^{2} + 4x · (-3)^{3} + (-3)^{4} = (x - 3)^{4} $，
所以 $ (x - 3)^{4} = 1 $，所以 $ x - 3 = 1 $ 或 $ x - 3 = -1 $，
所以 $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $。
所以 $ x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81 = x^{4} + 4x^{3} · (-3) + 6x^{2} · (-3)^{2} + 4x · (-3)^{3} + (-3)^{4} = (x - 3)^{4} $，
所以 $ (x - 3)^{4} = 1 $，所以 $ x - 3 = 1 $ 或 $ x - 3 = -1 $，
所以 $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $。