1. 阅读数学苏科七年级下册教材 44 页，解决下列问题：
在数学的奇妙世界里，杨辉三角有着独特的规律. 已知杨辉三角两条斜边上的数都是 1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和，并且杨辉三角与 $(a + b)^n(n = 1,2,3,4,5,6,···)$ 的展开式的系数有关，例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着 $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 展开式中各项的系数，等等.
请你按照“杨辉三角”的规律填空：
(1) 补全杨辉三角第 6 行和第 7 行的数字；
(2) 依据杨辉三角与 $(a + b)^n$ 展开式系数的关系，写出 $(a + b)^5$ 和 $(a + b)^6$ 的展开式；
(3) 从 $(a + b)^n$ 的展开式中，你能发现字母 $a$ 和 $b$ 的次数有什么变化规律吗？
(4) 如果把 $(a + b)^n$ 展开式中各项系数相加，会得到什么结果呢？请说明你的理由.
| 第一行 | 1 |
| ---- | ---- |
| 第二行 | 1 1 |
| 第三行 | 1 2 1 |
| 第四行 | 1 3 3 1 |
| 第五行 | 1 4 6 4 1 |
|...... |...... |
在数学的奇妙世界里，杨辉三角有着独特的规律. 已知杨辉三角两条斜边上的数都是 1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和，并且杨辉三角与 $(a + b)^n(n = 1,2,3,4,5,6,···)$ 的展开式的系数有关，例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着 $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 展开式中各项的系数，等等.
请你按照“杨辉三角”的规律填空：
(1) 补全杨辉三角第 6 行和第 7 行的数字；
(2) 依据杨辉三角与 $(a + b)^n$ 展开式系数的关系，写出 $(a + b)^5$ 和 $(a + b)^6$ 的展开式；
(3) 从 $(a + b)^n$ 的展开式中，你能发现字母 $a$ 和 $b$ 的次数有什么变化规律吗？
(4) 如果把 $(a + b)^n$ 展开式中各项系数相加，会得到什么结果呢？请说明你的理由.
| 第一行 | 1 |
| ---- | ---- |
| 第二行 | 1 1 |
| 第三行 | 1 2 1 |
| 第四行 | 1 3 3 1 |
| 第五行 | 1 4 6 4 1 |
|...... |...... |
答案：1. 解：(1)第6行：1,5,10,10,5,1；
第7行：1,6,15,20,15,6,1.
(2)$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.
(3)字母$a$的次数从$n$开始依次减1，直到0；字母$b$的次数从0开始依次加1，直到$n$，并且每一项中$a$和$b$的次数之和都等于$n$.
(4)$(a + b)^1$的展开式中的各项系数之和为$1 + 1 = 2 = 2^1$，
$(a + b)^2$的展开式中的各项系数之和为$1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$，
$(a + b)^3$的展开式中的各项系数之和为$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$，
$(a + b)^4$的展开式中的各项系数之和为$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$，
……
$(a + b)^n$的展开式中的各项系数之和为$2^n$.
第7行：1,6,15,20,15,6,1.
(2)$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.
(3)字母$a$的次数从$n$开始依次减1，直到0；字母$b$的次数从0开始依次加1，直到$n$，并且每一项中$a$和$b$的次数之和都等于$n$.
(4)$(a + b)^1$的展开式中的各项系数之和为$1 + 1 = 2 = 2^1$，
$(a + b)^2$的展开式中的各项系数之和为$1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$，
$(a + b)^3$的展开式中的各项系数之和为$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$，
$(a + b)^4$的展开式中的各项系数之和为$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$，
……
$(a + b)^n$的展开式中的各项系数之和为$2^n$.