1. (2025·深圳)下列计算正确的是(
A. $a^{2}+a^{4}=a^{6}$
B. $a^{3}· a^{3}=a^{6}$
C. $(a^{2})^{3}=a^{5}$
D. $(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$
B
)A. $a^{2}+a^{4}=a^{6}$
B. $a^{3}· a^{3}=a^{6}$
C. $(a^{2})^{3}=a^{5}$
D. $(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$
答案：1. B
2. 若二次三项式 $x^{2}-mx + 4$ 是一个完全平方式，则字母 $m$ 的值是(
A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$\pm 4$
D.$2$
C
)A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$\pm 4$
D.$2$
答案：2. C
解析：
因为二次三项式$x^{2}-mx + 4$是完全平方式，所以$x^{2}-mx + 4=(x\pm2)^{2}$。
展开$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x + 4$，对比可得$-m = 4$，即$m=-4$；
展开$(x - 2)^{2}=x^{2}-4x + 4$，对比可得$-m=-4$，即$m = 4$。
综上，$m=\pm4$。
C
展开$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x + 4$，对比可得$-m = 4$，即$m=-4$；
展开$(x - 2)^{2}=x^{2}-4x + 4$，对比可得$-m=-4$，即$m = 4$。
综上，$m=\pm4$。
C
3. (2025·宿城期中)若 $(x - a)(x - b)$ 的展开式中不含有 $x$ 的一次项，则 $a$，$b$ 的关系是(
A.互为倒数
B.互为相反数
C.相等
D.积为零
B
)A.互为倒数
B.互为相反数
C.相等
D.积为零
答案：3. B
解析：
$(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$，展开式中$x$的一次项系数为$-(a + b)$。因为展开式中不含有$x$的一次项，所以$-(a + b) = 0$，即$a + b = 0$，故$a$，$b$互为相反数。
B
B
4. (2024·姜堰期中)若 $M=(x - 2)(x - 3)$，$N=(x - 1)(x - 4)$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是(
A.由 $x$ 的取值而定
B.$M = N$
C.$M＜ N$
D.$M＞ N$
D
)A.由 $x$ 的取值而定
B.$M = N$
C.$M＜ N$
D.$M＞ N$
答案：4. D
解析：
$M=(x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6$，$N=(x-1)(x-4)=x^{2}-5x+4$，$M-N=(x^{2}-5x+6)-(x^{2}-5x+4)=2＞0$，故$M＞N$。
D
D
5. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为 $24 = 7^{2}-5^{2}$，所以称 $24$ 为“完美数”，下面 $4$ 个数中为“完美数”的是(
A.$2020$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
B
)A.$2020$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
答案：5. B
解析：
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），则“完美数”可表示为：
$\begin{aligned}(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}&=(4n^{2}+4n+1)-(4n^{2}-4n+1)\\&=4n^{2}+4n+1 - 4n^{2}+4n - 1\\&=8n\end{aligned}$
即“完美数”是$8$的倍数。
A. $2020÷8 = 252.5$，不是整数，不是“完美数”；
B. $2024÷8 = 253$，是整数，是“完美数”；
C. $2025÷8 = 253.125$，不是整数，不是“完美数”；
D. $2026÷8 = 253.25$，不是整数，不是“完美数”。
B
$\begin{aligned}(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}&=(4n^{2}+4n+1)-(4n^{2}-4n+1)\\&=4n^{2}+4n+1 - 4n^{2}+4n - 1\\&=8n\end{aligned}$
即“完美数”是$8$的倍数。
A. $2020÷8 = 252.5$，不是整数，不是“完美数”；
B. $2024÷8 = 253$，是整数，是“完美数”；
C. $2025÷8 = 253.125$，不是整数，不是“完美数”；
D. $2026÷8 = 253.25$，不是整数，不是“完美数”。
B
6. 若 $(x + t)(x + 6)$ 的积中，$x$ 的一次项系数为 $3$，则 $t$ 的值为
$-3$
.答案：6. $-3$
解析：
$(x + t)(x + 6) = x^2 + (t + 6)x + 6t$，因为$x$的一次项系数为$3$，所以$t + 6 = 3$，解得$t = -3$。
7. 若 $a + b = 7$，$ab = 12$，则代数式 $a^{2}+b^{2}-4ab$ 的值等于
$-23$
.答案：7. $-23$
解析：
因为$a + b = 7$，所以$(a + b)^2=7^2=49$，即$a^2 + 2ab + b^2=49$。
又因为$ab = 12$，所以$a^2 + b^2=49 - 2ab=49 - 2×12=49 - 24=25$。
则$a^2 + b^2 - 4ab=25 - 4×12=25 - 48=-23$。
$-23$
又因为$ab = 12$，所以$a^2 + b^2=49 - 2ab=49 - 2×12=49 - 24=25$。
则$a^2 + b^2 - 4ab=25 - 4×12=25 - 48=-23$。
$-23$
8. (2024·南通期中)已知 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x - 4y - 6z + 14 = 0$，则 $x - y + z=$
$0$
.答案：8. $0$
解析：
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x - 4y - 6z + 14 = 0$，
$(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-4y+4)+(z^{2}-6z+9)=0$，
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=0$，
因为$(x+1)^{2}≥0$，$(y-2)^{2}≥0$，$(z-3)^{2}≥0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，$z-3=0$，
解得$x=-1$，$y=2$，$z=3$，
则$x - y + z=-1 - 2 + 3=0$。
$(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-4y+4)+(z^{2}-6z+9)=0$，
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=0$，
因为$(x+1)^{2}≥0$，$(y-2)^{2}≥0$，$(z-3)^{2}≥0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，$z-3=0$，
解得$x=-1$，$y=2$，$z=3$，
则$x - y + z=-1 - 2 + 3=0$。
9. (2024·宿豫区期中)观察下列各式：$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$，$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$，$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$，…，根据上述规律，可得 $(x - 1)(x^{2024}+x^{2023}+··· + x + 1)=$
$x^{2025}-1$
.答案：9. $x^{2025}-1$
10. 在矩形 $ABCD$ 内，将两张边长分别为 $a$ 和 $b$ $(a＞ b)$ 的正方形纸片按图①，图②的两种方式放置(图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为 $S_{1}$，图②中阴影部分的面积为 $S_{2}$.当 $AD - AB = 3$ 时，$S_{2}-S_{1}$ 的值为
$3b$
.答案：10. $3b$
11. (10 分)计算：
(1)$(x - 3)(x + 3)-x(x + 7)$；
(2)$(x - 2y + 3z)(x + 2y - 3z)$.
(1)$(x - 3)(x + 3)-x(x + 7)$；
(2)$(x - 2y + 3z)(x + 2y - 3z)$.
答案：11. 解：(1) 原式$=x^{2}-9-x^{2}-7x=-9-7x$。
(2) 原式$=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x^{2}-(2y-3z)^{2}=x^{2}-(4y^{2}-12yz+9z^{2})=x^{2}-4y^{2}+12yz-9z^{2}$。
(2) 原式$=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x^{2}-(2y-3z)^{2}=x^{2}-(4y^{2}-12yz+9z^{2})=x^{2}-4y^{2}+12yz-9z^{2}$。