12. （10 分）先化简，再求值：$(x + 2y)(x - 2y)+(x + 2y)^{2}-x(2x + 3y)$，其中 $(3x + 1)^{2}+\vert y - 3\vert = 0$.
答案：12. 解：原式$=x^{2}-4y^{2}+x^{2}+4xy+4y^{2}-2x^{2}-3xy=xy$。
因为$(3x+1)^{2}+|y-3|=0$，
所以$3x+1=0$，$y-3=0$，
解得$x=-\frac{1}{3}$，$y=3$，
所以原式$=(-\frac{1}{3})×3=-1$。
因为$(3x+1)^{2}+|y-3|=0$，
所以$3x+1=0$，$y-3=0$，
解得$x=-\frac{1}{3}$，$y=3$，
所以原式$=(-\frac{1}{3})×3=-1$。
13. （10 分）（2024·江阴期中）（1）先化简，再求值：$(4x + 3)(x - 2)-2(x - 1)(2x - 3)$，其中 $x = - 2$；
（2）若 $(x^{2}+px + q)(x^{2}-3x + 2)$ 的结果中不含 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 项，求 $p$ 和 $q$ 的值.
（2）若 $(x^{2}+px + q)(x^{2}-3x + 2)$ 的结果中不含 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 项，求 $p$ 和 $q$ 的值.
答案：13. 解：(1) 原式$=4x^{2}-8x+3x-6-2(2x^{2}-3x-2x+3)=4x^{2}-8x+3x-6-4x^{2}+6x+4x-6=5x-12$，
当$x=-2$时，原式$=5×(-2)-12=-22$。
(2) 原式$=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+px^{3}-3px^{2}+2px+qx^{2}-3qx+2q=x^{4}+(p-3)x^{3}+(2-3p+q)x^{2}+(2p-3q)x+2q$，
因为$(x^{2}+px+q)(x^{2}-3x+2)$的结果中不含$x^{3}$和$x^{2}$项，所以$p-3=0$且$2-3p+q=0$，所以$p=3$，$q=7$。
当$x=-2$时，原式$=5×(-2)-12=-22$。
(2) 原式$=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+px^{3}-3px^{2}+2px+qx^{2}-3qx+2q=x^{4}+(p-3)x^{3}+(2-3p+q)x^{2}+(2p-3q)x+2q$，
因为$(x^{2}+px+q)(x^{2}-3x+2)$的结果中不含$x^{3}$和$x^{2}$项，所以$p-3=0$且$2-3p+q=0$，所以$p=3$，$q=7$。
14. （10 分）（2024·新北区期中）已知 $(a + b)^{2}=17$，$(a - b)^{2}=13$，求下列各式的值：
（1）$a^{2}-3ab + b^{2}$；
（2）$a^{4}+b^{4}$.
（1）$a^{2}-3ab + b^{2}$；
（2）$a^{4}+b^{4}$.
答案：14. 解：(1) 因为$(a+b)^{2}=17$，$(a-b)^{2}=13$，
所以$a^{2}+2ab+b^{2}=17$，$a^{2}-2ab+b^{2}=13$，两式相减，得$4ab=4$，所以$ab=1$，
所以$a^{2}-3ab+b^{2}=(a-b)^{2}-ab=13-1=12$。
(2) 原式$=(a^{2}+b^{2})^{2}-2(ab)^{2}=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2(ab)^{2}=(17-2×1)^{2}-2×1^{2}=15^{2}-2=223$。
所以$a^{2}+2ab+b^{2}=17$，$a^{2}-2ab+b^{2}=13$，两式相减，得$4ab=4$，所以$ab=1$，
所以$a^{2}-3ab+b^{2}=(a-b)^{2}-ab=13-1=12$。
(2) 原式$=(a^{2}+b^{2})^{2}-2(ab)^{2}=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2(ab)^{2}=(17-2×1)^{2}-2×1^{2}=15^{2}-2=223$。
15. (10 分)(2024·宿豫区期中)把完全平方公式 $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$ 适当的变形，可解决很多数学问题.例如：若 $a + b = 3$，$ab = 1$，求 $a^{2}+b^{2}$ 的值.
解：因为 $a + b = 3$，$ab = 1$，所以 $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=9$，$2ab = 2$，所以 $a^{2}+b^{2}=7$.根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 $x + y = 4$，$x^{2}+y^{2}=10$，求 $xy$ 的值.
(2)①若 $2m - n = 1$，$mn = 1$，则 $2m + n=$
②若 $(m - 4)(m - 5)=6$，则 $(m - 4)^{2}+(m - 5)^{2}=$
(3)如图，$C$ 是线段 $AB$ 上的一点，分别以 $AC$，$BC$ 为边向两边作正方形，若 $AB = 4$，两正方形的面积和 $S_{1}+S_{2}=12$，求图中阴影部分的面积.
解：因为 $a + b = 3$，$ab = 1$，所以 $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=9$，$2ab = 2$，所以 $a^{2}+b^{2}=7$.根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 $x + y = 4$，$x^{2}+y^{2}=10$，求 $xy$ 的值.
(2)①若 $2m - n = 1$，$mn = 1$，则 $2m + n=$
$\pm3$
；②若 $(m - 4)(m - 5)=6$，则 $(m - 4)^{2}+(m - 5)^{2}=$
$13$
.(3)如图，$C$ 是线段 $AB$ 上的一点，分别以 $AC$，$BC$ 为边向两边作正方形，若 $AB = 4$，两正方形的面积和 $S_{1}+S_{2}=12$，求图中阴影部分的面积.
答案：15. (1) 解：因为$x+y=4$，
所以$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=16$。
因为$x^{2}+y^{2}=10$，所以$2xy=16-10=6$，
所以$xy=3$。
(2) ①$\pm3$ ②$13$
(3) 解：设$AC=x$，$BC=y$，则$S_{1}=x^{2}$，$S_{2}=y^{2}$。
因为$S_{1}+S_{2}=12$，所以$x^{2}+y^{2}=12$。
因为$x+y=AB=4$，
所以$S_{阴影}=xy=\frac{1}{2}[(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})]=2$。
所以$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=16$。
因为$x^{2}+y^{2}=10$，所以$2xy=16-10=6$，
所以$xy=3$。
(2) ①$\pm3$ ②$13$
(3) 解：设$AC=x$，$BC=y$，则$S_{1}=x^{2}$，$S_{2}=y^{2}$。
因为$S_{1}+S_{2}=12$，所以$x^{2}+y^{2}=12$。
因为$x+y=AB=4$，
所以$S_{阴影}=xy=\frac{1}{2}[(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})]=2$。