8. 如图，将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转得到$△ DBE$。
(1)如图①，当点$C$的对应点$E$恰好落在$AB$上时，若$BC = 6$，$BD = 9$，求$AE$的长；
(2)如图②，若$BD// AC$，$∠ C = 110^{\circ}$，$∠ BAC = 40^{\circ}$，求$∠ ABE$的度数。
(1)如图①，当点$C$的对应点$E$恰好落在$AB$上时，若$BC = 6$，$BD = 9$，求$AE$的长；
(2)如图②，若$BD// AC$，$∠ C = 110^{\circ}$，$∠ BAC = 40^{\circ}$，求$∠ ABE$的度数。
答案：8. 解:(1)因为将$△ ABC$绕点 B 逆时针旋转得到$△ DBE$,点 C 的对应点 E 落在 AB 上,所以$BD=BA=9$,$BE=BC=6$,所以$AE=AB - BE=9 - 6=3$.
(2)因为$∠C=110^{\circ}$,$∠BAC=40^{\circ}$,所以$∠ABC=180^{\circ}-∠C - ∠BAC=30^{\circ}$.因为$BD// AC$,$∠C=110^{\circ}$,所以$∠DBC=180^{\circ}-∠C=70^{\circ}$.因为将$△ ABC$绕点 B 逆时针旋转得到$△ DBE$,所以$∠DBE=∠ABC=30^{\circ}$,所以$∠ABE=70^{\circ}-∠DBE - ∠ABC=10^{\circ}$.
(2)因为$∠C=110^{\circ}$,$∠BAC=40^{\circ}$,所以$∠ABC=180^{\circ}-∠C - ∠BAC=30^{\circ}$.因为$BD// AC$,$∠C=110^{\circ}$,所以$∠DBC=180^{\circ}-∠C=70^{\circ}$.因为将$△ ABC$绕点 B 逆时针旋转得到$△ DBE$,所以$∠DBE=∠ABC=30^{\circ}$,所以$∠ABE=70^{\circ}-∠DBE - ∠ABC=10^{\circ}$.
9. (2024·如东县月考)如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 15^{\circ}$，$∠ ACB = 25^{\circ}$，$AB = 6$cm，$△ ABC$逆时针旋转一定角度后与$△ ADE$重合。指出旋转中心，并求出旋转的度数和$∠ BAE$的度数。
答案：9. 解:因为$△ ABC$逆时针旋转一定角度后与$△ ADE$重合,A 为公共顶点,所以旋转中心为点 A.根据旋转的性质可知$∠CAE=∠BAD=180^{\circ}-∠B - ∠ACB=180^{\circ}-15^{\circ}-25^{\circ}=140^{\circ}$,所以旋转的角度为$140^{\circ}$.因为$∠CAE=∠BAD=140^{\circ}$,所以$∠BAE=360^{\circ}-∠CAE - ∠CAB=360^{\circ}-140^{\circ}-140^{\circ}=80^{\circ}$.
解析：
解:旋转中心为点A。
在$△ABC$中，$∠BAC=180^{\circ}-∠B-∠ACB=180^{\circ}-15^{\circ}-25^{\circ}=140^{\circ}$。
因为$△ABC$逆时针旋转后与$△ADE$重合，所以旋转角为$∠BAC=140^{\circ}$。
由旋转性质知$∠DAE=∠BAC=140^{\circ}$，所以$∠BAE=360^{\circ}-∠BAC-∠DAE=360^{\circ}-140^{\circ}-140^{\circ}=80^{\circ}$。
旋转中心为点A，旋转度数为$140^{\circ}$，$∠BAE$的度数为$80^{\circ}$。
在$△ABC$中，$∠BAC=180^{\circ}-∠B-∠ACB=180^{\circ}-15^{\circ}-25^{\circ}=140^{\circ}$。
因为$△ABC$逆时针旋转后与$△ADE$重合，所以旋转角为$∠BAC=140^{\circ}$。
由旋转性质知$∠DAE=∠BAC=140^{\circ}$，所以$∠BAE=360^{\circ}-∠BAC-∠DAE=360^{\circ}-140^{\circ}-140^{\circ}=80^{\circ}$。
旋转中心为点A，旋转度数为$140^{\circ}$，$∠BAE$的度数为$80^{\circ}$。
10. (2025·湖滨新区期末)如图，在边长为$1$个单位长度的小正方形组成的网格中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，$O$为$△ ABC$外一点。
(1)将$△ ABC$向右平移$4$个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，作出平移后的图形；
(2)将$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$180^{\circ}$得到$△ A_2B_2C_2$，作出旋转后的图形；
(3)$△ A_2B_2C_2$可以看作是$△ A_1B_1C_1$经过什么变换得到的？
(1)将$△ ABC$向右平移$4$个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，作出平移后的图形；
(2)将$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$180^{\circ}$得到$△ A_2B_2C_2$，作出旋转后的图形；
(3)$△ A_2B_2C_2$可以看作是$△ A_1B_1C_1$经过什么变换得到的？
答案：
10. 解:(1)如答图,$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)如答图,$△ A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求.
(3)如答图,连接$A_{1}A_{2}$,$B_{1}B_{2}$,$C_{1}C_{2}$,它们相交于同一点 D,故$△ A_{2}B_{2}C_{2}$可以看作是$△ A_{1}B_{1}C_{1}$绕点 D 旋转$180^{\circ}$得到的.
第10题答图
10. 解:(1)如答图,$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)如答图,$△ A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求.
(3)如答图,连接$A_{1}A_{2}$,$B_{1}B_{2}$,$C_{1}C_{2}$,它们相交于同一点 D,故$△ A_{2}B_{2}C_{2}$可以看作是$△ A_{1}B_{1}C_{1}$绕点 D 旋转$180^{\circ}$得到的.
第10题答图