1. 下列各式中，是关于 $ x,y $ 的二元一次方程的是(
A.$ 2x - y $
B.$ xy + x - 2 = 0 $
C.$ \frac{1}{x} - y = 0 $
D.$ x - 3y = -15 $
D
)A.$ 2x - y $
B.$ xy + x - 2 = 0 $
C.$ \frac{1}{x} - y = 0 $
D.$ x - 3y = -15 $
答案：1. D
2. 关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ 2x - ky = 5 $ 的一个解是 $ \begin{cases}x = 2, \\ y = 3,\end{cases}$ 则 $ k $ 的值为( )
A.$ \frac{1}{3} $
B.$ -\frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ -\frac{1}{4} $
A.$ \frac{1}{3} $
B.$ -\frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ -\frac{1}{4} $
答案：2. B
解析：
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$代入方程$2x - ky = 5$，得$2×2 - k×3 = 5$，即$4 - 3k = 5$，移项得$-3k = 5 - 4$，$-3k = 1$，解得$k = -\dfrac{1}{3}$。
B
B
3. 二元一次方程 $ 3x + 2y = 10 $ 的解的情况是(
A.无解
B.有且只有一组解
C.有两组解
D.有无数组解
D
)A.无解
B.有且只有一组解
C.有两组解
D.有无数组解
答案：3. D
4. 在 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 0, \end{cases} \begin{cases} x = 2, \\ y = -1, \end{cases} \begin{cases} x = \frac{1}{2}, \\ y = 2 \end{cases} $ 三对数值中，哪几对是方程 $ 2x + y = 3 $ 的解？哪几对是方程 $ x - 2y = 4 $ 的解？有没有这样的一对数值，它既是方程 $ 2x + y = 3 $ 的解，又是方程 $ x - 2y = 4 $ 的解？
答案：4. 解：通过代入验证，可知
$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1,\end{array} \{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=2\end{array} $是方程$2x+y=3$的解，
$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=0,\end{array} \{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array} $是方程$x-2y=4$的解，
$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array} $既是方程$2x+y=3$的解，又是方程$x-2y=4$的解.
$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1,\end{array} \{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=2\end{array} $是方程$2x+y=3$的解，
$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=0,\end{array} \{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array} $是方程$x-2y=4$的解，
$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array} $既是方程$2x+y=3$的解，又是方程$x-2y=4$的解.
5. (2025·钟吾初中期末)若 $ (m - 2)x + 3y^{|m - 1|} = 12 $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程，则 $ m $ 的值是(
A.2
B.2 或 0
C.0
D.任何数
C
)A.2
B.2 或 0
C.0
D.任何数
答案：5. C
解析：
因为方程$(m - 2)x + 3y^{|m - 1|} = 12$是关于$x$，$y$的二元一次方程，所以需满足：
1. 未知数$x$的系数不为$0$：$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$；
2. 未知数$y$的次数为$1$：$|m - 1| = 1$，即$m - 1 = 1$或$m - 1 = -1$，解得$m = 2$或$m = 0$。
综合以上条件，$m ≠ 2$且$m = 2$或$m = 0$，所以$m = 0$。
C
1. 未知数$x$的系数不为$0$：$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$；
2. 未知数$y$的次数为$1$：$|m - 1| = 1$，即$m - 1 = 1$或$m - 1 = -1$，解得$m = 2$或$m = 0$。
综合以上条件，$m ≠ 2$且$m = 2$或$m = 0$，所以$m = 0$。
C
6. (2025·玄武区期末)把一根长 10 米的钢管截成长度为 1 米和 2 米两种规格都有的钢管(不计损耗)，则不同的截法共有(
A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.无数种
A
)A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.无数种
答案：6. A
解析：
设1米钢管有$x$根，2米钢管有$y$根，$x$、$y$为正整数。
由题意得：$x + 2y=10$，则$x=10 - 2y$。
因为$x＞0$，$y＞0$，所以：
当$y=1$时，$x=10 - 2×1=8$；
当$y=2$时，$x=10 - 2×2=6$；
当$y=3$时，$x=10 - 2×3=4$；
当$y=4$时，$x=10 - 2×4=2$；
当$y=5$时，$x=10 - 2×5=0$（不符合两种规格都有，舍去）。
共4种截法。
A
由题意得：$x + 2y=10$，则$x=10 - 2y$。
因为$x＞0$，$y＞0$，所以：
当$y=1$时，$x=10 - 2×1=8$；
当$y=2$时，$x=10 - 2×2=6$；
当$y=3$时，$x=10 - 2×3=4$；
当$y=4$时，$x=10 - 2×4=2$；
当$y=5$时，$x=10 - 2×5=0$（不符合两种规格都有，舍去）。
共4种截法。
A
7. (2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出 200 元钱全部用于购买单价分别为 8 元和 10 元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有(
A.5 种
B.4 种
C.3 种
D.2 种
B
)A.5 种
B.4 种
C.3 种
D.2 种
答案：7. B
解析：
设购买8元笔记本$x$本，10元笔记本$y$本，$x,y$为正整数。
由题意得：$8x + 10y = 200$，化简得$4x + 5y = 100$，即$x=\frac{100 - 5y}{4}$。
因为$x,y$为正整数，所以$100 - 5y$必须是4的倍数，且$y＞0$，$x＞0$。
当$y=4$时，$x=\frac{100 - 5×4}{4}=20$；
当$y=8$时，$x=\frac{100 - 5×8}{4}=15$；
当$y=12$时，$x=\frac{100 - 5×12}{4}=10$；
当$y=16$时，$x=\frac{100 - 5×16}{4}=5$；
当$y=20$时，$x=0$（不符合两种都购买，舍去）。
共4种购买方案。
B
由题意得：$8x + 10y = 200$，化简得$4x + 5y = 100$，即$x=\frac{100 - 5y}{4}$。
因为$x,y$为正整数，所以$100 - 5y$必须是4的倍数，且$y＞0$，$x＞0$。
当$y=4$时，$x=\frac{100 - 5×4}{4}=20$；
当$y=8$时，$x=\frac{100 - 5×8}{4}=15$；
当$y=12$时，$x=\frac{100 - 5×12}{4}=10$；
当$y=16$时，$x=\frac{100 - 5×16}{4}=5$；
当$y=20$时，$x=0$（不符合两种都购买，舍去）。
共4种购买方案。
B
8. 把一张面值 20 元的纸币换成 1 元和 5 元的两种面值(两种面值都需有)，则共有
3
种换法.答案：8. 3
解析：
设换成1元的有$x$张，5元的有$y$张，根据题意得：$x + 5y=20$，$x$、$y$为正整数。
当$y=1$时，$x=20 - 5×1=15$；
当$y=2$时，$x=20 - 5×2=10$；
当$y=3$时，$x=20 - 5×3=5$；
当$y=4$时，$x=20 - 5×4=0$（不符合两种面值都需有的条件，舍去）。
所以共有3种换法。
当$y=1$时，$x=20 - 5×1=15$；
当$y=2$时，$x=20 - 5×2=10$；
当$y=3$时，$x=20 - 5×3=5$；
当$y=4$时，$x=20 - 5×4=0$（不符合两种面值都需有的条件，舍去）。
所以共有3种换法。