8. 已知方程组$\begin{cases}3x + 2y = 4,\\2x + 3y = 6,\end{cases}$则$x^{2}-y^{2}$的值为 ______ .
答案：8. -4
解析：
解：$\begin{cases}3x + 2y = 4,①\\2x + 3y = 6,②\end{cases}$
①+②得：$5x + 5y = 10$，即$x + y = 2$
①-②得：$x - y = -2$
$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)=2×(-2)=-4$
-4
①+②得：$5x + 5y = 10$，即$x + y = 2$
①-②得：$x - y = -2$
$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)=2×(-2)=-4$
-4
9. (2024·宿迁)若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + y = b,\\cx - y = d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = -2,\end{cases}$则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + 2y = 2a + b,\\cx - 2y = 2c + d\end{cases}$的解是 ______ .
答案：9. $\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$
解析：
将$\begin{cases}x = 3,\\y = -2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + y = b,\\cx - y = d\end{cases}$，得$\begin{cases}3a - 2 = b,\\3c + 2 = d\end{cases}$。
将$b = 3a - 2$，$d = 3c + 2$代入方程组$\begin{cases}ax + 2y = 2a + b,\\cx - 2y = 2c + d\end{cases}$，
第一个方程：$ax + 2y = 2a + 3a - 2$，即$ax + 2y = 5a - 2$，整理得$a(x - 5) + 2y + 2 = 0$；
第二个方程：$cx - 2y = 2c + 3c + 2$，即$cx - 2y = 5c + 2$，整理得$c(x - 5) - 2y - 2 = 0$。
令$x - 5 = 0$，则$x = 5$，代入第一个方程得$0 + 2y + 2 = 0$，解得$y = -1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$。
$\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$
将$b = 3a - 2$，$d = 3c + 2$代入方程组$\begin{cases}ax + 2y = 2a + b,\\cx - 2y = 2c + d\end{cases}$，
第一个方程：$ax + 2y = 2a + 3a - 2$，即$ax + 2y = 5a - 2$，整理得$a(x - 5) + 2y + 2 = 0$；
第二个方程：$cx - 2y = 2c + 3c + 2$，即$cx - 2y = 5c + 2$，整理得$c(x - 5) - 2y - 2 = 0$。
令$x - 5 = 0$，则$x = 5$，代入第一个方程得$0 + 2y + 2 = 0$，解得$y = -1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$。
$\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$
10. 用加减法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}2a + 3b = 2,\\4a - 9b = -1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x - 2y = 7,\\5x + 4y = -3;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}3x - 4y = 9,\\-2x + 3y = -7;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}2x - y = 5,\\5x + 3y = 7.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}2a + 3b = 2,\\4a - 9b = -1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x - 2y = 7,\\5x + 4y = -3;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}3x - 4y = 9,\\-2x + 3y = -7;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}2x - y = 5,\\5x + 3y = 7.\end{cases}$
答案：10. 解：(1) $\begin{cases}2a + 3b = 2,①\\4a - 9b = -1,②\end{cases}$
①×2 - ②，得 $15b = 5$，解得 $b = \dfrac{1}{3}$。
将 $b = \dfrac{1}{3}$ 代入①，得 $2a + 1 = 2$，解得 $a = \dfrac{1}{2}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a = \dfrac{1}{2},\\b = \dfrac{1}{3}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 2y = 7,①\\5x + 4y = -3,②\end{cases}$
①×2 + ②，得 $11x = 11$，解得 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入①，得 $3 - 2y = 7$，解得 $y = -2$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}3x - 4y = 9,①\\-2x + 3y = -7,②\end{cases}$
①×2 + ②×3，得 $y = -3$。
将 $y = -3$ 代入①，得 $3x + 12 = 9$，解得 $x = -1$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = -1,\\y = -3.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x - y = 5,①\\5x + 3y = 7,②\end{cases}$
①×3 + ②，得 $11x = 22$，解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入①，得 $2×2 - y = 5$，解得 $y = -1$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = -1.\end{cases}$
①×2 - ②，得 $15b = 5$，解得 $b = \dfrac{1}{3}$。
将 $b = \dfrac{1}{3}$ 代入①，得 $2a + 1 = 2$，解得 $a = \dfrac{1}{2}$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}a = \dfrac{1}{2},\\b = \dfrac{1}{3}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 2y = 7,①\\5x + 4y = -3,②\end{cases}$
①×2 + ②，得 $11x = 11$，解得 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入①，得 $3 - 2y = 7$，解得 $y = -2$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}3x - 4y = 9,①\\-2x + 3y = -7,②\end{cases}$
①×2 + ②×3，得 $y = -3$。
将 $y = -3$ 代入①，得 $3x + 12 = 9$，解得 $x = -1$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = -1,\\y = -3.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x - y = 5,①\\5x + 3y = 7,②\end{cases}$
①×3 + ②，得 $11x = 22$，解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入①，得 $2×2 - y = 5$，解得 $y = -1$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = -1.\end{cases}$
11. 教材变式题 在等式$y = kx + b$中，当$x = 2$时，$y = 1$；当$x = 3$时，$y = 4$.当$x = 5$时，求$y$的值.
答案：11. 解：由题意，得 $\begin{cases}2k + b = 1,\\3k + b = 4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 3,\\b = -5,\end{cases}$
所以 $y = 3x - 5$。
在 $y = 3x - 5$ 中，当 $x = 5$ 时，$y = 3×5 - 5 = 10$。
所以 $y = 3x - 5$。
在 $y = 3x - 5$ 中，当 $x = 5$ 时，$y = 3×5 - 5 = 10$。
12. (2025·钟吾初中期末)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 7,\\2ax - by = 4\end{cases}$和$\begin{cases}x + 2y = 1,\\ax + 2by = 7\end{cases}$有相同的解.
(1)求出它们的相同解；
(2)求$(a + b)^{2025}$的值.
(1)求出它们的相同解；
(2)求$(a + b)^{2025}$的值.
答案：12. 解：(1) 由题意，得 $\begin{cases}2x - y = 7,①\\x + 2y = 1,②\end{cases}$
①×2，得 $4x - 2y = 14$，③
② + ③，得 $x = 3$，
将 $x = 3$ 代入②，得 $y = -1$。
所以它们的相同解为 $\begin{cases}x = 3,\\y = -1.\end{cases}$
(2) 将 $x = 3$，$y = -1$ 分别代入 $2ax - by = 4$ 和 $ax + 2by = 7$，得 $\begin{cases}6a + b = 4,\\3a - 2b = 7,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 1,\\b = -2.\end{cases}$
所以 $(a + b)^{2025} = [1 + (-2)]^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
①×2，得 $4x - 2y = 14$，③
② + ③，得 $x = 3$，
将 $x = 3$ 代入②，得 $y = -1$。
所以它们的相同解为 $\begin{cases}x = 3,\\y = -1.\end{cases}$
(2) 将 $x = 3$，$y = -1$ 分别代入 $2ax - by = 4$ 和 $ax + 2by = 7$，得 $\begin{cases}6a + b = 4,\\3a - 2b = 7,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 1,\\b = -2.\end{cases}$
所以 $(a + b)^{2025} = [1 + (-2)]^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。