1. 用代入法解方程组 $\begin{cases}2x - y = 7,①\\3x - 4y = 5,②\end{cases}$ 使得代入后化简比较容易的变形为( )
A. 由①,得 $x = \frac{7 + y}{2}$
B. 由①,得 $y = 2x - 7$
C. 由②,得 $x = \frac{5 + 4y}{3}$
D. 由②,得 $y = \frac{3x - 5}{4}$
A. 由①,得 $x = \frac{7 + y}{2}$
B. 由①,得 $y = 2x - 7$
C. 由②,得 $x = \frac{5 + 4y}{3}$
D. 由②,得 $y = \frac{3x - 5}{4}$
答案：1. B
2. 若 $x^{|2m - 3|} + (m - 2)y = 8$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程,则 $m$ 的值是(
A.1
B.任何数
C.2
D.1 或 2
A
)A.1
B.任何数
C.2
D.1 或 2
答案：2. A
解析：
因为方程$x^{|2m - 3|} + (m - 2)y = 8$是关于$x$，$y$的二元一次方程，所以$x$，$y$的次数都为$1$，且系数不为$0$。
对于$x$的次数：$|2m - 3| = 1$，即$2m - 3 = 1$或$2m - 3 = -1$。
当$2m - 3 = 1$时，$2m = 4$，$m = 2$；
当$2m - 3 = -1$时，$2m = 2$，$m = 1$。
对于$y$的系数：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
综上，$m = 1$。
A
对于$x$的次数：$|2m - 3| = 1$，即$2m - 3 = 1$或$2m - 3 = -1$。
当$2m - 3 = 1$时，$2m = 4$，$m = 2$；
当$2m - 3 = -1$时，$2m = 2$，$m = 1$。
对于$y$的系数：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
综上，$m = 1$。
A
3. (2025·宿豫区期末)已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = a,\\x - 2y = 1,\end{cases}$ 若 $2x + 3y = 2$,则 $a$ 的值为( )
A.1
B.$-3$
C.3
D.4
A.1
B.$-3$
C.3
D.4
答案：3. C
解析：
$\begin{cases}3x + y = a, \quad①\\x - 2y = 1, \quad②\end{cases}$
① - ②，得$2x + 3y = a - 1$
因为$2x + 3y = 2$，所以$a - 1 = 2$，解得$a = 3$
C
① - ②，得$2x + 3y = a - 1$
因为$2x + 3y = 2$，所以$a - 1 = 2$，解得$a = 3$
C
4. 方程组 $\begin{cases}x + y = 8,\\y + z = -2,\\z + x = 4\end{cases}$ 的解使代数式 $kx + 2y - z$ 的值为 $-5$,则 $k$ 的值为( )
A.0
B.$\frac{5}{7}$
C.$-\frac{10}{7}$
D.$\frac{7}{5}$
A.0
B.$\frac{5}{7}$
C.$-\frac{10}{7}$
D.$\frac{7}{5}$
答案：4. C
解析：
$\begin{cases}x + y = 8,\\y + z = -2,\\z + x = 4\end{cases}$
将三个方程相加得：$2(x + y + z) = 10$，即$x + y + z = 5$。
用$x + y + z = 5$分别减去原方程组中的每个方程：
$z = 5 - 8 = -3$；
$x = 5 - (-2) = 7$；
$y = 5 - 4 = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7,\\y = 1,\\z = -3\end{cases}$。
将$x = 7$，$y = 1$，$z = -3$代入$kx + 2y - z = -5$，得：
$7k + 2×1 - (-3) = -5$
$7k + 2 + 3 = -5$
$7k + 5 = -5$
$7k = -10$
$k = -\frac{10}{7}$
C
将三个方程相加得：$2(x + y + z) = 10$，即$x + y + z = 5$。
用$x + y + z = 5$分别减去原方程组中的每个方程：
$z = 5 - 8 = -3$；
$x = 5 - (-2) = 7$；
$y = 5 - 4 = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7,\\y = 1,\\z = -3\end{cases}$。
将$x = 7$，$y = 1$，$z = -3$代入$kx + 2y - z = -5$，得：
$7k + 2×1 - (-3) = -5$
$7k + 2 + 3 = -5$
$7k + 5 = -5$
$7k = -10$
$k = -\frac{10}{7}$
C
5. (2024·苏州)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动. 班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买),其中笔记本每本 3 元,碳素笔每支 2 元,共花费 28 元,则共有几种购买方案(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案：5. B
解析：
设购买笔记本$x$本，碳素笔$y$支，$x$，$y$为正整数。
由题意得：$3x + 2y = 28$，
则$y = \frac{28 - 3x}{2}$。
因为$y ＞ 0$，所以$\frac{28 - 3x}{2} ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{28}{3}\approx9.33$。
又因为$x$为正整数，且$28 - 3x$为偶数，$28$是偶数，$3x$必须为偶数，所以$x$为偶数。
$x$可取$2$，$4$，$6$，$8$。
当$x = 2$时，$y = \frac{28 - 6}{2} = 11$；
当$x = 4$时，$y = \frac{28 - 12}{2} = 8$；
当$x = 6$时，$y = \frac{28 - 18}{2} = 5$；
当$x = 8$时，$y = \frac{28 - 24}{2} = 2$。
共4种购买方案。
B
由题意得：$3x + 2y = 28$，
则$y = \frac{28 - 3x}{2}$。
因为$y ＞ 0$，所以$\frac{28 - 3x}{2} ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{28}{3}\approx9.33$。
又因为$x$为正整数，且$28 - 3x$为偶数，$28$是偶数，$3x$必须为偶数，所以$x$为偶数。
$x$可取$2$，$4$，$6$，$8$。
当$x = 2$时，$y = \frac{28 - 6}{2} = 11$；
当$x = 4$时，$y = \frac{28 - 12}{2} = 8$；
当$x = 6$时，$y = \frac{28 - 18}{2} = 5$；
当$x = 8$时，$y = \frac{28 - 24}{2} = 2$。
共4种购买方案。
B
6. 已知三元一次方程 $2x - 3y + mz = 0$,当 $x = 1,y = 2$ 时,$z = 4$,则 $m$ 的值为
1
.答案：6. 1
解析：
将$x = 1$，$y = 2$，$z = 4$代入方程$2x - 3y + mz = 0$，得：
$\begin{aligned}2×1 - 3×2 + m×4 &= 0\\2 - 6 + 4m &= 0\\-4 + 4m &= 0\\4m &= 4\\m &= 1\end{aligned}$
1
$\begin{aligned}2×1 - 3×2 + m×4 &= 0\\2 - 6 + 4m &= 0\\-4 + 4m &= 0\\4m &= 4\\m &= 1\end{aligned}$
1
7. 已知 $a,b$ 满足 $\begin{cases}a + 5b = 15,\\3a - b = -3,\end{cases}$ 则 $a + b =$ ______ .
答案：7. 3
解析：
解：$\begin{cases}a + 5b = 15,\\3a - b = -3,\end{cases}$
由$3a - b = -3$得$b = 3a + 3$，
将$b = 3a + 3$代入$a + 5b = 15$，
得$a + 5(3a + 3) = 15$，
$a + 15a + 15 = 15$，
$16a = 0$，
$a = 0$，
则$b = 3×0 + 3 = 3$，
所以$a + b = 0 + 3 = 3$。
3
由$3a - b = -3$得$b = 3a + 3$，
将$b = 3a + 3$代入$a + 5b = 15$，
得$a + 5(3a + 3) = 15$，
$a + 15a + 15 = 15$，
$16a = 0$，
$a = 0$，
则$b = 3×0 + 3 = 3$，
所以$a + b = 0 + 3 = 3$。
3
8. (2025·秦淮区期末)已知三元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 4,\\x + z = 5,\end{cases}$ 则 $3(x + y + z) =$ ______ .
答案：8. 18
解析：
将三个方程相加：$x + y + y + z + x + z = 3 + 4 + 5$，化简得$2(x + y + z) = 12$，则$x + y + z = 6$，所以$3(x + y + z) = 3×6 = 18$。
18
18
9. (2024·吴江区期末)若关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + my = 6,\\3x - ny = 5\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 4,\\y = 2,\end{cases}$ 则关于 $a,b$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2(a + b) + m(a - b) = 6,\\3(a + b) - n(a - b) = 5\end{cases}$ 的解是 ______ .
答案：9. $\begin{cases}a = 3,\\b = 1\end{cases}$
解析：
令 $a + b = x$，$a - b = y$，则方程组$\begin{cases}2(a + b) + m(a - b) = 6\\3(a + b) - n(a - b) = 5\end{cases}$可化为$\begin{cases}2x + my = 6\\3x - ny = 5\end{cases}$。
已知原方程组$\begin{cases}2x + my = 6\\3x - ny = 5\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，所以$\begin{cases}a + b = 4\\a - b = 2\end{cases}$。
解方程组$\begin{cases}a + b = 4\\a - b = 2\end{cases}$，两式相加得$2a = 6$，解得$a = 3$。
将$a = 3$代入$a + b = 4$，得$3 + b = 4$，解得$b = 1$。
$\begin{cases}a = 3\\b = 1\end{cases}$
已知原方程组$\begin{cases}2x + my = 6\\3x - ny = 5\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，所以$\begin{cases}a + b = 4\\a - b = 2\end{cases}$。
解方程组$\begin{cases}a + b = 4\\a - b = 2\end{cases}$，两式相加得$2a = 6$，解得$a = 3$。
将$a = 3$代入$a + b = 4$，得$3 + b = 4$，解得$b = 1$。
$\begin{cases}a = 3\\b = 1\end{cases}$