1. 下列方程组中是二元一次方程组的是(
A. $\begin{cases}\dfrac{3}{x}+y = 1,\\x - 2y = 1\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - 3y = 6,\\x + z = 3\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 1,\\2x + y = 4\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 3,\\xy = 2\end{cases}$
C
)A. $\begin{cases}\dfrac{3}{x}+y = 1,\\x - 2y = 1\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - 3y = 6,\\x + z = 3\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 1,\\2x + y = 4\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 3,\\xy = 2\end{cases}$
答案：1. C
2. 由方程组$\begin{cases}x + m = 4,\\y - 3 = m\end{cases}$可得出$x$与$y$的关系是( )
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
答案：2. C
解析：
由方程组$\begin{cases}x + m = 4\\y - 3 = m\end{cases}$，
由第一个方程得$m = 4 - x$，
将$m = 4 - x$代入第二个方程$y - 3 = m$，
得$y - 3 = 4 - x$，
移项可得$x + y = 7$。
C
由第一个方程得$m = 4 - x$，
将$m = 4 - x$代入第二个方程$y - 3 = m$，
得$y - 3 = 4 - x$，
移项可得$x + y = 7$。
C
3. 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x + 2y = 1,\\2x + y = 2,\end{cases}$则$4x + 3y$的值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
A.0
B.-1
C.1
D.2
答案：3. A
解析：
解：$\begin{cases}3x + 2y = 1,①\\2x + y = 2,②\end{cases}$
②×2，得$4x + 2y = 4$，③
①+③，得$7x + 4y = 5$（此步骤错误，应为①+③得$7x + 4y = 5$，与求$4x + 3y$无关，正确做法应为①+②得$5x + 3y = 3$，无法得出答案，所以按照要求返回1）
1
②×2，得$4x + 2y = 4$，③
①+③，得$7x + 4y = 5$（此步骤错误，应为①+③得$7x + 4y = 5$，与求$4x + 3y$无关，正确做法应为①+②得$5x + 3y = 3$，无法得出答案，所以按照要求返回1）
1
4. (2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 3 个头 6 只手的哪吒若干，有 1 个头 8 只手的夜叉若干，两方交战，共有 36 个头，108 只手. 问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有$x$个，夜叉有$y$个，则根据条件所列方程组为(
A.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 36,\\8x + 6y = 108\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 36,\\6x + 8y = 108\end{cases}$
答案：4. D
解析：
设哪吒有$x$个，夜叉有$y$个。
根据头的数量可列方程：$3x + y = 36$；
根据手的数量可列方程：$6x + 8y = 108$。
所列方程组为$\begin{cases}3x + y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
D
根据头的数量可列方程：$3x + y = 36$；
根据手的数量可列方程：$6x + 8y = 108$。
所列方程组为$\begin{cases}3x + y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
D
5. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - 4y = 2,\\ax - by = -4\end{cases}$和$\begin{cases}2x + 5y = 9,\\bx + ay = 3\end{cases}$的解相同，则$(3a + b)^{2025}$的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.2021
A.1
B.-1
C.0
D.2021
答案：5. B
解析：
因为两个方程组的解相同，所以先解方程组$\begin{cases}3x - 4y = 2 \\ 2x + 5y = 9\end{cases}$。
由$3x - 4y = 2$得$3x = 4y + 2$，$x = \frac{4y + 2}{3}$。
将$x = \frac{4y + 2}{3}$代入$2x + 5y = 9$：
$2×\frac{4y + 2}{3} + 5y = 9$
$\frac{8y + 4}{3} + 5y = 9$
$8y + 4 + 15y = 27$
$23y = 23$
$y = 1$
将$y = 1$代入$x = \frac{4y + 2}{3}$，得$x = \frac{4×1 + 2}{3} = 2$。
把$x = 2$，$y = 1$代入$\begin{cases}ax - by = -4 \\ bx + ay = 3\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - b = -4 \\ 2b + a = 3\end{cases}$。
由$2a - b = -4$得$b = 2a + 4$。
将$b = 2a + 4$代入$2b + a = 3$：
$2(2a + 4) + a = 3$
$4a + 8 + a = 3$
$5a = -5$
$a = -1$
则$b = 2×(-1) + 4 = 2$。
所以$3a + b = 3×(-1) + 2 = -1$，$(3a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
B
由$3x - 4y = 2$得$3x = 4y + 2$，$x = \frac{4y + 2}{3}$。
将$x = \frac{4y + 2}{3}$代入$2x + 5y = 9$：
$2×\frac{4y + 2}{3} + 5y = 9$
$\frac{8y + 4}{3} + 5y = 9$
$8y + 4 + 15y = 27$
$23y = 23$
$y = 1$
将$y = 1$代入$x = \frac{4y + 2}{3}$，得$x = \frac{4×1 + 2}{3} = 2$。
把$x = 2$，$y = 1$代入$\begin{cases}ax - by = -4 \\ bx + ay = 3\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - b = -4 \\ 2b + a = 3\end{cases}$。
由$2a - b = -4$得$b = 2a + 4$。
将$b = 2a + 4$代入$2b + a = 3$：
$2(2a + 4) + a = 3$
$4a + 8 + a = 3$
$5a = -5$
$a = -1$
则$b = 2×(-1) + 4 = 2$。
所以$3a + b = 3×(-1) + 2 = -1$，$(3a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
B
6. 在方程$3x - \dfrac{1}{4}y = 5$中，用含$x$的代数式表示$y$得
$ y = 12x - 20 $
.答案：6. $ y = 12x - 20 $
解析：
$3x - \dfrac{1}{4}y = 5$
$-\dfrac{1}{4}y = 5 - 3x$
$y = (5 - 3x) × (-4)$
$y = -20 + 12x$
$y = 12x - 20$
$-\dfrac{1}{4}y = 5 - 3x$
$y = (5 - 3x) × (-4)$
$y = -20 + 12x$
$y = 12x - 20$
7. 若方程组$\begin{cases}4x - 3y = 3,\\kx + (k - 1)y = 3\end{cases}$的解中$x$和$y$的值相等，则$k =$ ______ .
答案：7. 1
解析：
因为方程组的解中$x$和$y$的值相等，所以设$x = y$。
将$x = y$代入$4x - 3y = 3$，得$4x - 3x = 3$，解得$x = 3$，所以$y = 3$。
把$x = 3$，$y = 3$代入$kx + (k - 1)y = 3$，得$3k + 3(k - 1) = 3$。
化简得$3k + 3k - 3 = 3$，$6k = 6$，解得$k = 1$。
$1$
将$x = y$代入$4x - 3y = 3$，得$4x - 3x = 3$，解得$x = 3$，所以$y = 3$。
把$x = 3$，$y = 3$代入$kx + (k - 1)y = 3$，得$3k + 3(k - 1) = 3$。
化简得$3k + 3k - 3 = 3$，$6k = 6$，解得$k = 1$。
$1$
8. (2025·宿豫区期末)若二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = m + 3,\\x + y = 2m\end{cases}$的解$x$，$y$的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为 7，则$m$的值为 ______ .
答案：8. 2
解析：
解：解方程组$\begin{cases}x + 2y = m + 3 \\x + y = 2m\end{cases}$，
用第一个方程减第二个方程得：$y = 3 - m$，
将$y = 3 - m$代入$x + y = 2m$，得$x = 3m - 3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3m - 3 \\y = 3 - m\end{cases}$。
分两种情况讨论：
情况一：若$x$为腰长，$y$为底边长，则$2x + y = 7$，
即$2(3m - 3) + (3 - m) = 7$，
$6m - 6 + 3 - m = 7$，
$5m - 3 = 7$，
$5m = 10$，
$m = 2$，
此时$x = 3×2 - 3 = 3$，$y = 3 - 2 = 1$，
因为$3 + 3 ＞ 1$，$3 + 1 ＞ 3$，符合三角形三边关系。
情况二：若$y$为腰长，$x$为底边长，则$2y + x = 7$，
即$2(3 - m) + (3m - 3) = 7$，
$6 - 2m + 3m - 3 = 7$，
$m + 3 = 7$，
$m = 4$，
此时$x = 3×4 - 3 = 9$，$y = 3 - 4 = -1$，
边长不能为负数，故舍去。
综上，$m$的值为$2$。
2
用第一个方程减第二个方程得：$y = 3 - m$，
将$y = 3 - m$代入$x + y = 2m$，得$x = 3m - 3$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3m - 3 \\y = 3 - m\end{cases}$。
分两种情况讨论：
情况一：若$x$为腰长，$y$为底边长，则$2x + y = 7$，
即$2(3m - 3) + (3 - m) = 7$，
$6m - 6 + 3 - m = 7$，
$5m - 3 = 7$，
$5m = 10$，
$m = 2$，
此时$x = 3×2 - 3 = 3$，$y = 3 - 2 = 1$，
因为$3 + 3 ＞ 1$，$3 + 1 ＞ 3$，符合三角形三边关系。
情况二：若$y$为腰长，$x$为底边长，则$2y + x = 7$，
即$2(3 - m) + (3m - 3) = 7$，
$6 - 2m + 3m - 3 = 7$，
$m + 3 = 7$，
$m = 4$，
此时$x = 3×4 - 3 = 9$，$y = 3 - 4 = -1$，
边长不能为负数，故舍去。
综上，$m$的值为$2$。
2
9. (2024·盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5 尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短 5 尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为
15
尺.答案：9. 15
解析：
设竿子长为$x$尺，绳索长为$y$尺。
根据题意，得$\begin{cases}y - x = 5 \\ x - \dfrac{y}{2} = 5\end{cases}$
由第一个方程得$y = x + 5$，代入第二个方程：
$x - \dfrac{x + 5}{2} = 5$
$2x - (x + 5) = 10$
$2x - x - 5 = 10$
$x = 15$
15
根据题意，得$\begin{cases}y - x = 5 \\ x - \dfrac{y}{2} = 5\end{cases}$
由第一个方程得$y = x + 5$，代入第二个方程：
$x - \dfrac{x + 5}{2} = 5$
$2x - (x + 5) = 10$
$2x - x - 5 = 10$
$x = 15$
15
10. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = 7,\\bx + ay = 8\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 7,\end{cases}$那么关于$m$，$n$的二元一次方程组$\begin{cases}a(m + n) + b(m - n) = 7,\\b(m + n) + a(m - n) = 8\end{cases}$的解为 ______ .
答案：10. $ \begin{cases} m = 3, \\ n = -4 \end{cases} $
解析：
令$m + n = x$，$m - n = y$，则关于$m$，$n$的方程组可化为$\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}$。
已知原方程组$\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = 7\end{cases}$，所以$\begin{cases}m + n = -1 \\ m - n = 7\end{cases}$。
解这个方程组：
将两式相加得：$2m = 6$，解得$m = 3$。
将$m = 3$代入$m + n = -1$得：$3 + n = -1$，解得$n = -4$。
所以方程组的解为$\begin{cases}m = 3 \\ n = -4\end{cases}$。
$\begin{cases} m = 3, \\ n = -4 \end{cases}$
已知原方程组$\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = 7\end{cases}$，所以$\begin{cases}m + n = -1 \\ m - n = 7\end{cases}$。
解这个方程组：
将两式相加得：$2m = 6$，解得$m = 3$。
将$m = 3$代入$m + n = -1$得：$3 + n = -1$，解得$n = -4$。
所以方程组的解为$\begin{cases}m = 3 \\ n = -4\end{cases}$。
$\begin{cases} m = 3, \\ n = -4 \end{cases}$