1. (2024·惠山区期末)下列式子:①$120＞100$;②$5x = 125$;③$x + y＜0$;④$7x - 1＞-2024$;⑤$120 - 5x＜5x^{2}$,其中是一元一次不等式的有(
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
B
)A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案：1. B
解析：
①$120＞100$是不等式，不含未知数，不是一元一次不等式；
②$5x = 125$是等式，不是不等式；
③$x + y＜0$含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④$7x - 1＞-2024$含有一个未知数，未知数的次数是1，是一元一次不等式；
⑤$120 - 5x＜5x^{2}$未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式。
综上，是一元一次不等式的有1个。
B
②$5x = 125$是等式，不是不等式；
③$x + y＜0$含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④$7x - 1＞-2024$含有一个未知数，未知数的次数是1，是一元一次不等式；
⑤$120 - 5x＜5x^{2}$未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式。
综上，是一元一次不等式的有1个。
B
2. (2024·河北)下列数中,能使不等式$5x - 1＜6$成立的$x$的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：2. A
解析：
解不等式$5x - 1＜6$，
移项得$5x＜6 + 1$，
即$5x＜7$，
两边同时除以$5$得$x＜\frac{7}{5}$，$\frac{7}{5}=1.4$。
选项中只有$1＜1.4$，所以能使不等式成立的$x$的值为$1$。
A
移项得$5x＜6 + 1$，
即$5x＜7$，
两边同时除以$5$得$x＜\frac{7}{5}$，$\frac{7}{5}=1.4$。
选项中只有$1＜1.4$，所以能使不等式成立的$x$的值为$1$。
A
3. (2025·钟吾初中期末)若$a ＜ b$,则下列不等式一定成立的是(
A.$a + 2c＞b + 2c$
B.$2c - a＜2c - b$
C.$a + 2c＜b + 2c$
D.$2ac＜2bc$
C
)A.$a + 2c＞b + 2c$
B.$2c - a＜2c - b$
C.$a + 2c＜b + 2c$
D.$2ac＜2bc$
答案：3. C
4. (2025·宿城期末)不等式$2x + 1＜8$的最大整数解是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案：4. B
解析：
解：$2x + 1＜8$
$2x＜7$
$x＜\frac{7}{2}$
$x＜3.5$
最大整数解是3
B
$2x＜7$
$x＜\frac{7}{2}$
$x＜3.5$
最大整数解是3
B
5. (2025·江阴期末)若关于$x$的一元一次不等式$\frac{x - a}{2}+1＞x + a$的解集中每一个$x$的值都能使不等式$\frac{1 - 2x}{2}-\frac{1 - 5x}{6}＞\frac{2}{3}$成立,则$a$的取值范围是(
A.$a≤\frac{4}{3}$
B.$a≥\frac{4}{3}$
C.$a≤-\frac{4}{3}$
D.$a≥-\frac{4}{3}$
B
)A.$a≤\frac{4}{3}$
B.$a≥\frac{4}{3}$
C.$a≤-\frac{4}{3}$
D.$a≥-\frac{4}{3}$
答案：5. B
解析：
解不等式$\frac{x - a}{2}+1＞x + a$：
$\begin{aligned}\frac{x - a}{2}+1 &＞x + a\\x - a + 2 &＞2x + 2a\\x - 2x &＞2a + a - 2\\-x &＞3a - 2\\x &＜2 - 3a\end{aligned}$
解不等式$\frac{1 - 2x}{2}-\frac{1 - 5x}{6}＞\frac{2}{3}$：
$\begin{aligned}3(1 - 2x) - (1 - 5x) &＞4\\3 - 6x - 1 + 5x &＞4\\x + 2 &＞4\\x &＞2\\x &＜ - 2\end{aligned}$
因为不等式$\frac{x - a}{2}+1＞x + a$的解集中每一个$x$的值都能使不等式$\frac{1 - 2x}{2}-\frac{1 - 5x}{6}＞\frac{2}{3}$成立，所以$2 - 3a ≤ - 2$，解得$a ≥ \frac{4}{3}$。
B
$\begin{aligned}\frac{x - a}{2}+1 &＞x + a\\x - a + 2 &＞2x + 2a\\x - 2x &＞2a + a - 2\\-x &＞3a - 2\\x &＜2 - 3a\end{aligned}$
解不等式$\frac{1 - 2x}{2}-\frac{1 - 5x}{6}＞\frac{2}{3}$：
$\begin{aligned}3(1 - 2x) - (1 - 5x) &＞4\\3 - 6x - 1 + 5x &＞4\\x + 2 &＞4\\x &＞2\\x &＜ - 2\end{aligned}$
因为不等式$\frac{x - a}{2}+1＞x + a$的解集中每一个$x$的值都能使不等式$\frac{1 - 2x}{2}-\frac{1 - 5x}{6}＞\frac{2}{3}$成立，所以$2 - 3a ≤ - 2$，解得$a ≥ \frac{4}{3}$。
B
6. (2025·溧阳期末)当$k =$
3
时,不等式$\frac{1}{3}(kx + 5)＞x$永远成立.答案：6. 3
解析：
解：$\frac{1}{3}(kx + 5)＞x$
去分母得：$kx + 5＞3x$
移项、合并同类项得：$(k - 3)x＞ - 5$
要使不等式永远成立，则$k - 3 = 0$且$0＞ - 5$，解得$k = 3$
3
去分母得：$kx + 5＞3x$
移项、合并同类项得：$(k - 3)x＞ - 5$
要使不等式永远成立，则$k - 3 = 0$且$0＞ - 5$，解得$k = 3$
3
7. (2024·烟台)关于$x$的不等式$m - \frac{x}{2}≤1 - x$有正数解,$m$的值可以是
0（答案不唯一）
. (写出一个即可)答案：7. 0（答案不唯一）
解析：
解：解不等式$m - \frac{x}{2} ≤ 1 - x$，
移项得：$-\frac{x}{2} + x ≤ 1 - m$，
合并同类项得：$\frac{x}{2} ≤ 1 - m$，
两边同乘$2$得：$x ≤ 2(1 - m)$。
因为不等式有正数解，所以$2(1 - m) ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$，
则$m$的值可以是$0$。
0（答案不唯一）
移项得：$-\frac{x}{2} + x ≤ 1 - m$，
合并同类项得：$\frac{x}{2} ≤ 1 - m$，
两边同乘$2$得：$x ≤ 2(1 - m)$。
因为不等式有正数解，所以$2(1 - m) ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$，
则$m$的值可以是$0$。
0（答案不唯一）
8. (2025·钟吾初中期末)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = -7 + m,\\2x + y = 2m + 4,\end{cases}$若此方程组的解满足$x + y≥2$,则$m$的取值范围是 ______ .
答案：8. $ m ≥ 3 $
解析：
$\begin{cases}x + 2y = -7 + m,\\2x + y = 2m + 4,\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 3m - 3$，即$x + y = m - 1$。
因为$x + y ≥ 2$，所以$m - 1 ≥ 2$，解得$m ≥ 3$。
$m ≥ 3$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 3m - 3$，即$x + y = m - 1$。
因为$x + y ≥ 2$，所以$m - 1 ≥ 2$，解得$m ≥ 3$。
$m ≥ 3$
9. 若$x,y$满足方程组$\begin{cases}4x + 3y + m = -1,\\2x + y = 3 - m,\end{cases}$也满足不等式$x + y≥\frac{1}{2}m - 1$,则$m$的取值范围是 ______ .
答案：9. $ m ≤ - 2 $
解析：
解：$\begin{cases}4x + 3y + m = -1,\\2x + y = 3 - m,\end{cases}$
由$2x + y = 3 - m$得$y = 3 - m - 2x$，
代入$4x + 3y + m = -1$：
$4x + 3(3 - m - 2x) + m = -1$
$4x + 9 - 3m - 6x + m = -1$
$-2x - 2m + 9 = -1$
$-2x = 2m - 10$
$x = 5 - m$
则$y = 3 - m - 2(5 - m) = 3 - m - 10 + 2m = m - 7$
$x + y = (5 - m) + (m - 7) = -2$
因为$x + y≥\frac{1}{2}m - 1$，所以$-2≥\frac{1}{2}m - 1$
$-2 + 1≥\frac{1}{2}m$
$-1≥\frac{1}{2}m$
$m≤ - 2$
$m ≤ - 2$
由$2x + y = 3 - m$得$y = 3 - m - 2x$，
代入$4x + 3y + m = -1$：
$4x + 3(3 - m - 2x) + m = -1$
$4x + 9 - 3m - 6x + m = -1$
$-2x - 2m + 9 = -1$
$-2x = 2m - 10$
$x = 5 - m$
则$y = 3 - m - 2(5 - m) = 3 - m - 10 + 2m = m - 7$
$x + y = (5 - m) + (m - 7) = -2$
因为$x + y≥\frac{1}{2}m - 1$，所以$-2≥\frac{1}{2}m - 1$
$-2 + 1≥\frac{1}{2}m$
$-1≥\frac{1}{2}m$
$m≤ - 2$
$m ≤ - 2$
10. (2025·内蒙古)关于$x$的不等式$\frac{2x - 1}{3}-1＞\frac{x}{2}$的解集是
$ x ＞ 8 $
,这个不等式的任意一个解都比关于$x$的不等式$2x - 1≤ x + m$的解大,则$m$的取值范围是$ m ≤ 7 $
.答案：10. $ x ＞ 8 $ $ m ≤ 7 $
解析：
解不等式$\frac{2x - 1}{3}-1＞\frac{x}{2}$：
去分母，得$2(2x - 1)-6＞3x$，
去括号，得$4x - 2 - 6＞3x$，
移项，得$4x - 3x＞2 + 6$，
合并同类项，得$x＞8$。
解不等式$2x - 1≤x + m$：
移项，得$2x - x≤m + 1$，
合并同类项，得$x≤m + 1$。
因为不等式$\frac{2x - 1}{3}-1＞\frac{x}{2}$的任意一个解都比不等式$2x - 1≤x + m$的解大，所以$m + 1≤8$，解得$m≤7$。
$x＞8$；$m≤7$
去分母，得$2(2x - 1)-6＞3x$，
去括号，得$4x - 2 - 6＞3x$，
移项，得$4x - 3x＞2 + 6$，
合并同类项，得$x＞8$。
解不等式$2x - 1≤x + m$：
移项，得$2x - x≤m + 1$，
合并同类项，得$x≤m + 1$。
因为不等式$\frac{2x - 1}{3}-1＞\frac{x}{2}$的任意一个解都比不等式$2x - 1≤x + m$的解大，所以$m + 1≤8$，解得$m≤7$。
$x＞8$；$m≤7$