7. 若不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x - 3 ≤ 2\end{cases}$有$3$个整数解，则$a$的取值范围是 ______ .
答案：7. $ 2 ≤ a ＜ 3 $
解析：
解不等式组$\begin{cases}x ＞ a \\ x - 3 ≤ 2\end{cases}$，
解$x - 3 ≤ 2$，得$x ≤ 5$，
所以不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 5$，
因为不等式组有$3$个整数解，即$3$，$4$，$5$，
所以$2 ≤ a ＜ 3$。
$2 ≤ a ＜ 3$
解$x - 3 ≤ 2$，得$x ≤ 5$，
所以不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 5$，
因为不等式组有$3$个整数解，即$3$，$4$，$5$，
所以$2 ≤ a ＜ 3$。
$2 ≤ a ＜ 3$
8. (2025·钟吾初中期末)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5, \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ 3$，则$m$的取值范围是 ______ .
答案：8. $ m ≥ 2 $
解析：
解不等式$2x - 1 ＜ 5$，得$2x ＜ 6$，$x ＜ 3$。
因为不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5 \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ 3$，所以$m + 1 ≥ 3$，解得$m ≥ 2$。
$m ≥ 2$
因为不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5 \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ 3$，所以$m + 1 ≥ 3$，解得$m ≥ 2$。
$m ≥ 2$
9. 不等式组$\begin{cases}x + 5 ＞ 2, \\ 4 - x ≥ 3\end{cases}$的最小整数解是 ______ .
答案：9. -2
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $x + 5 ＞ 2$，得 $x ＞ -3$；
2. 解不等式 $4 - x ≥ 3$，得 $x ≤ 1$；
所以不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 1$，其最小整数解是 $-2$。
$-2$
1. 解不等式 $x + 5 ＞ 2$，得 $x ＞ -3$；
2. 解不等式 $4 - x ≥ 3$，得 $x ≤ 1$；
所以不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 1$，其最小整数解是 $-2$。
$-2$
10. (2025·宿城期末)解不等式组：$\begin{cases}3(x + 1) ≥ x - 1, \\ \dfrac{x + 15}{2} ＞ 3x,\end{cases}$并写出它的所有正整数解.
答案：10. 解：$ \begin{cases} 3(x + 1) ≥ x - 1,① \\ \frac{x + 15}{2} ＞ 3x,② \end{cases} $
解不等式①得 $ x ≥ -2 $。
解不等式②得 $ x ＜ 3 $。
所以原不等式组的解集为 $ -2 ≤ x ＜ 3 $，其正整数解为 1，2。
解不等式①得 $ x ≥ -2 $。
解不等式②得 $ x ＜ 3 $。
所以原不等式组的解集为 $ -2 ≤ x ＜ 3 $，其正整数解为 1，2。
11. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 6 - m, \\ x - y = 2 + 3m\end{cases}$的解满足$x$，$y$均为非负数.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$为绝对值最小的数时，求原方程组的解.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$为绝对值最小的数时，求原方程组的解.
答案：11. 解：（1）$ \begin{cases} x + y = 6 - m,① \\ x - y = 2 + 3m,② \end{cases} $
① + ②，得 $ 2x = 8 + 2m $，解得 $ x = 4 + m $。
① - ②，得 $ 2y = 4 - 4m $，解得 $ y = 2 - 2m $。
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 4 + m, \\ y = 2 - 2m. \end{cases} $
因为方程组的解满足 $ x $，$ y $均为非负数，
所以 $ \begin{cases} x ≥ 0, \\ y ≥ 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 4 + m ≥ 0, \\ 2 - 2m ≥ 0. \end{cases} $
解得 $ -4 ≤ m ≤ 1 $。
当 $ 6 ＜ -2x + 1 $，即 $ x ＜ -2.5 $ 时，
因为 $ 6 \odot (-2x + 1) = 5 $，
所以 $ 6 - (-2x + 1) + 3 = 5 $，解得 $ x = -1.5 $（不合题意，舍去）。
综上所述，$ x $的值为 4。
（3）$ \frac{7}{5} ＜ x ≤ \frac{3}{2} $
① + ②，得 $ 2x = 8 + 2m $，解得 $ x = 4 + m $。
① - ②，得 $ 2y = 4 - 4m $，解得 $ y = 2 - 2m $。
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 4 + m, \\ y = 2 - 2m. \end{cases} $
因为方程组的解满足 $ x $，$ y $均为非负数，
所以 $ \begin{cases} x ≥ 0, \\ y ≥ 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 4 + m ≥ 0, \\ 2 - 2m ≥ 0. \end{cases} $
解得 $ -4 ≤ m ≤ 1 $。
当 $ 6 ＜ -2x + 1 $，即 $ x ＜ -2.5 $ 时，
因为 $ 6 \odot (-2x + 1) = 5 $，
所以 $ 6 - (-2x + 1) + 3 = 5 $，解得 $ x = -1.5 $（不合题意，舍去）。
综上所述，$ x $的值为 4。
（3）$ \frac{7}{5} ＜ x ≤ \frac{3}{2} $
12. 对于有理数$a$，$b$，定义一种新运算“$\odot$”：当$a ≥ b$时，$a \odot b = 2a + b$；当$a ＜ b$时，$a \odot b = a - b + 3$.
例如，$5 \odot (- 3) = 2 × 5 + (- 3) = 7$，$(- 8) \odot (- 4) = - 8 - (- 4) + 3 = - 1$.
(1)计算：$2 \odot 3 =$
(2)若$6 \odot (- 2x + 1) = 5$，求$x$的值；
(3)若$(x + 1) \odot (3x - 2) ＞ 7$，则$x$的取值范围是
例如，$5 \odot (- 3) = 2 × 5 + (- 3) = 7$，$(- 8) \odot (- 4) = - 8 - (- 4) + 3 = - 1$.
(1)计算：$2 \odot 3 =$
2 - 3 + 3 = 2
，$(- 2) \odot (- 7) =$- 2 - (- 7) + 3 = 8
；(2)若$6 \odot (- 2x + 1) = 5$，求$x$的值；
(3)若$(x + 1) \odot (3x - 2) ＞ 7$，则$x$的取值范围是
$\frac{7}{5} ＜ x ≤ \frac{3}{2}$
.答案：（注：原参考答案此处逻辑较混乱，以下是重新梳理后可能正确的答案）
12. (1) 因为$2＜3$，所以$2\odot3 = 2 - 3 + 3 = 2$；
因为$-2＞-7$，所以$(-2)\odot(-7)=2×(-2)+(-7)=-4 - 7=-11$。
(2) 当$6≥ - 2x + 1$，即$x≥-\frac{5}{2}$时，
$6\odot(-2x + 1)=2×6+(-2x + 1)=12-2x + 1=13 - 2x$。
由$13 - 2x = 5$，解得$x = 4$，满足$x≥-\frac{5}{2}$。
当$6 ＜ - 2x + 1$，即$x＜-\frac{5}{2}$时，
$6\odot(-2x + 1)=6-(-2x + 1)+3=6 + 2x - 1+3=2x + 8$。
由$2x + 8 = 5$，解得$x=-\frac{3}{2}$，不满足$x＜-\frac{5}{2}$，舍去。
所以$x$的值为$4$。
(3) 当$x + 1≥3x - 2$，即$x≤\frac{3}{2}$时，
$(x + 1)\odot(3x - 2)=2(x + 1)+(3x - 2)=2x + 2+3x - 2 = 5x$。
由$5x＞7$，解得$x＞\frac{7}{5}$，所以$\frac{7}{5}＜x≤\frac{3}{2}$。
当$x + 1＜3x - 2$，即$x＞\frac{3}{2}$时，
$(x + 1)\odot(3x - 2)=(x + 1)-(3x - 2)+3=x + 1 - 3x + 2+3=-2x + 6$。
由$-2x + 6＞7$，解得$x＜-\frac{1}{2}$，与$x＞\frac{3}{2}$矛盾，舍去。
所以$x$的取值范围是$\frac{7}{5}＜x≤\frac{3}{2}$。
12. (1) 因为$2＜3$，所以$2\odot3 = 2 - 3 + 3 = 2$；
因为$-2＞-7$，所以$(-2)\odot(-7)=2×(-2)+(-7)=-4 - 7=-11$。
(2) 当$6≥ - 2x + 1$，即$x≥-\frac{5}{2}$时，
$6\odot(-2x + 1)=2×6+(-2x + 1)=12-2x + 1=13 - 2x$。
由$13 - 2x = 5$，解得$x = 4$，满足$x≥-\frac{5}{2}$。
当$6 ＜ - 2x + 1$，即$x＜-\frac{5}{2}$时，
$6\odot(-2x + 1)=6-(-2x + 1)+3=6 + 2x - 1+3=2x + 8$。
由$2x + 8 = 5$，解得$x=-\frac{3}{2}$，不满足$x＜-\frac{5}{2}$，舍去。
所以$x$的值为$4$。
(3) 当$x + 1≥3x - 2$，即$x≤\frac{3}{2}$时，
$(x + 1)\odot(3x - 2)=2(x + 1)+(3x - 2)=2x + 2+3x - 2 = 5x$。
由$5x＞7$，解得$x＞\frac{7}{5}$，所以$\frac{7}{5}＜x≤\frac{3}{2}$。
当$x + 1＜3x - 2$，即$x＞\frac{3}{2}$时，
$(x + 1)\odot(3x - 2)=(x + 1)-(3x - 2)+3=x + 1 - 3x + 2+3=-2x + 6$。
由$-2x + 6＞7$，解得$x＜-\frac{1}{2}$，与$x＞\frac{3}{2}$矛盾，舍去。
所以$x$的取值范围是$\frac{7}{5}＜x≤\frac{3}{2}$。